18 C4 电子与磁性
凝聚态物理与量子材料基础
19 C4 电子相互作用与磁性模块：1.1 多电子问题
19.1 章节概述
多电子问题是凝聚态物理中最基本也是最核心的问题之一。当多个电子存在于固体中时，它们之间会发生复杂的相互作用，这种相互作用不能简单地被忽略，而是决定了材料的本质特性。从金属的导电性到磁性，从超导到Mott绝缘体，所有的集体电子现象都源于电子-电子相互作用。
本章将从单电子近似出发，逐步引入多电子哈密顿量的严格表述，探讨自旋波函数的对称性，阐述费米海的概念，并最终引入准粒子这一核心概念来理解多体系统的低能激发。
学习目标： - 理解多电子哈密顿量的组成和各物理项的来源 - 掌握泡利不相容原理和自旋波函数的对称性要求 - 理解费米海和费米面的物理图像 - 掌握准粒子的概念和其在多体物理中的重要性 - 了解Hartree-Fock近似的物理思想
19.2 1.1.1 从单电子到多电子
19.2.1 单电子近似的局限
在前面的能带理论学习中，我们假设电子在周期性势场中运动，哈密顿量可以写成：
\[ \hat{H} = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} + V_{\text{eff}}(\mathbf{r}) \]
其中 \(V_{\text{eff}}(\mathbf{r})\) 是有效势场，包括原子核吸引势和电子-电子相互作用的某种平均。这种单电子近似在许多情况下是成功的，但它忽略了一个关键的物理效应：电子-电子相互作用。
19.2.2 电子相互作用的本质
电子带负电，因此彼此之间存在库仑排斥作用：
\[ V_{\text{ee}}(\mathbf{r}_i, \mathbf{r}_j) = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j|} \]
这种相互作用是所有多体电子现象的根源。当电子-电子相互作用足够强时，单电子近似会失效，我们需要处理完整的多体问题。
19.3 1.1.2 多电子哈密顿量
19.3.1 完整哈密顿量
考虑 \(N\) 个电子组成的系统，完整的哈密顿量为：
\[ \hat{H} = \underbrace{\sum_{i=1}^{N} \frac{\mathbf{p}_i^2}{2m}}_{\text{动能}} + \underbrace{\sum_{i=1}^{N} V_{\text{ext}}(\mathbf{r}_i)}_{\text{外势}} + \underbrace{\frac{1}{2}\sum_{i\neq j} \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j|}}_{\text{电子-电子相互作用}} \]
其中： - 第一项是电子的动能 - 第二项是电子在外部势场（如原子核产生的势）中的势能 - 第三项是电子之间的库仑相互作用
19.4 1.1.3 自旋波函数与对称性
19.4.1 全同粒子与交换对称性
电子是费米子，服从费米-狄拉克统计。这意味着多电子波函数必须满足交换反对称性：交换任意两个电子，波函数改变符号。
19.4.2 自旋单态与三重态
两个电子的自旋波函数有两种可能：
（1）自旋单态（对称自旋波函数）
\[ \chi_{\text{S}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\downarrow\rangle - |\downarrow\uparrow\rangle) \]
自旋单态的总自旋 \(S = 0\)，自旋波函数是反对称的。
（2）自旋三重态（反对称自旋波函数）
\[ \chi_{\text{T}} = \begin{cases} |\uparrow\uparrow\rangle \\ \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\downarrow\rangle + |\downarrow\uparrow\rangle) \\ |\downarrow\downarrow\rangle \end{cases} \]
自旋三重态的总自旋 \(S = 1\)，自旋波函数是对称的。
19.4.3 泡利不相容原理
为了满足总波函数的反对称性： - 自旋单态（反对称自旋）必须配以对称空间波函数 - 自旋三重态（对称自旋）必须配以反对称空间波函数
这意味着：自旋平行的电子（自旋三重态）在空间上必须互相远离，这就是交换 hole 的物理起源。
19.5 1.1.4 费米海与费米面
19.5.1 费米海的形成
在基态时，电子占据能量最低的量子态。由于泡利不相容原理，每个量子态（由波矢 \(\mathbf{k}\) 和自旋 \(\sigma\) 标记）最多只能容纳一个电子。
对于 \(N\) 个自由电子，基态是这样填充的： - 从 \(\mathbf{k} = 0\) 开始 - 依次填充能量 \(E = \hbar^2 k^2/2m\) 从低到高的状态 - 直到填满 \(N\) 个电子
这种完全填充的状态称为费米海（Fermi Sea）。
19.5.2 费米波矢与费米能
费米海中占据的最高能量状态对应费米能 \(E_F\)，对应的波矢是费米波矢 \(k_F\)：
\[ E_F = \frac{\hbar^2 k_F^2}{2m} \]
对于三维自由电子：
\[ k_F = (3\pi^2 n)^{1/3} \]
其中 \(n = N/V\) 是电子浓度。
19.5.3 费米面的定义
在动量空间中，满足 \(E(\mathbf{k}) = E_F\) 的曲面称为费米面（Fermi Surface）。费米面是凝聚态物理中最重要的概念之一，它决定了材料的多数物理性质。
19.6 1.1.5 准粒子概念
19.6.1 为什么要引入准粒子？
在多体系统中，真实的电子不是独立的粒子，而是与周围电子强烈相互作用。然而，我们可以用准粒子（quasiparticle）的概念来近似描述系统的低能激发。
准粒子是 dressed electron：它携带着周围”云团”（其他电子的极化）一起运动。
19.6.2 朗道费米液体理论
朗道（Landau）提出，相互作用电子系统的低能激发可以看作是一种”费米液体”：
- 准粒子存在：低能激发仍然是准粒子，类似无相互作用电子
- 费米面保持：费米面仍然存在
- 朗道参数：通过朗道参数 \(F_l^s, F_l^a\) 描述相互作用效应
19.6.3 准粒子的寿命
准粒子不是永久存在的，它们由于与其他准粒子的散射而具有有限寿命：
\[ \frac{1}{\tau} \propto (E - E_F)^2 + (\pi k_B T)^2 \]
在低温下（\(T \to 0\)），只有费米面附近的准粒子是长寿命的。
19.7 本章小结
| 概念 | 公式/描述 | 物理意义 |
|---|---|---|
| 多电子哈密顿量 | \(\hat{H} = T + V_{\text{ext}} + V_{\text{ee}}\) | 描述多电子系统的完整哈密顿量 |
| 交换对称性 | 费米子波函数反对称 | 泡利不相容原理的量子力学基础 |
| 自旋单态/三重态 | \(S=0\)/\(S=1\) | 两个电子的自旋配组方式 |
| 费米海 | 基态完全填充 \(\mathbf{k} \leq k_F\) | 电子气的基态 |
| 费米能 | \(E_F = \hbar^2 k_F^2/2m\) | 费米海中最高占据能量 |
| 准粒子 | 穿衣电子 | 多体系统的低能激发 |
| 有效质量 | \(m^*\) | 电子相互作用的体现 |
| Hartree-Fock | 平均场近似 | 处理多电子问题的第一步 |
19.8 参考资料
- Ashcroft, M. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics - 第 2 章
- Mahan, G. D. (2000). Many-Particle Physics - 第 1-3 章
20 C4 电子相互作用与磁性模块：1.2 电子关联
20.1 章节概述
电子关联是凝聚态物理中最核心的概念之一，它指的是电子运动之间的相互关联，这种关联不能被单电子近似（如 Hartree-Fock）所描述。在强关联系统中，电子-电子相互作用起着主导作用，导致了丰富多彩的量子物态，如Mott绝缘体、反铁磁体、高温超导体等。
学习目标： - 理解电子关联的物理概念及其与Hartree-Fock近似的区别 - 掌握Hubbard模型的哈密顿量和物理意义 - 理解Mott绝缘体的形成机制 - 掌握强关联系统的基本特征 - 了解Mott相变的物理图像
20.2 1.2.1 关联效应概述
20.2.1 什么是电子关联？
电子关联（Electron Correlation）是指电子运动之间的相互关联。当一个电子运动时，它会影响其他电子的分布，反过来，其他电子的状态也影响这个电子的运动。
20.2.2 Hartree-Fock 近似的缺陷
在Hartree-Fock近似中，每个电子在其他电子的平均场中运动。然而，这种近似忽略了： 1. 动态关联：电子运动的瞬时相互作用 2. 交换孔的精确形状：平均场给出的交换孔是近似的 3. 相互作用导致的集体行为：如Mott绝缘体、反铁磁等
20.2.3 关联能的定义
关联能（Correlation Energy）定义为：
\[ E_{\text{corr}} = E_{\text{exact}} - E_{\text{HF}} \]
其中： - \(E_{\text{exact}}\) 是系统的真实基态能量 - \(E_{\text{HF}}\) 是Hartree-Fock近似的能量
由于真实系统能量更低（电子相互吸引），所以 \(E_{\text{corr}} < 0\)。
20.3 1.2.2 Hubbard 模型
20.3.1 模型的引入
Hubbard模型是描述强关联电子系统最简洁、最经典的模型。它于1963年由John Hubbard提出，捕捉了电子关联的核心物理。
20.3.2 模型哈密顿量
Hubbard模型的哈密顿量为：
\[ \hat{H} = -t \sum_{\langle ij \rangle \sigma} (\hat{c}_{i\sigma}^\dagger \hat{c}_{j\sigma} + \text{h.c.}) + U \sum_i \hat{n}_{i\uparrow} \hat{n}_{i\downarrow} \]
其中： - 第一项是跳跃项（Kinetic Energy），描述电子在相邻格点之间的隧穿 - 第二项是Hubbard项（On-site Repulsion），描述同一格点上两个电子的库仑排斥 - \(t\) 是跳跃积分（hopping integral） - \(U\) 是on-site库仑排斥能
20.3.3 模型的物理意义
（1）跳跃项 \(-t\) 电子可以在相邻格点之间跳跃。这一项体现了电子的动能，它倾向于使电子离域，形成导电状态。
（2）Hubbard项 \(+U\) 当两个自旋相反的电子占据同一格点时，需要支付能量 \(U\)。这一项体现了电子的关联效应，它倾向于使电子局域化。
20.4 1.2.3 Mott 绝缘体
20.4.1 什么是Mott绝缘体？
Mott绝缘体是一类由于电子-电子强关联而形成的绝缘体。尽管从能带理论看它们的能带是部分填充的（应该有金属性），但由于强关联效应，电子被局域化，无法导电。
20.4.2 能带理论 vs Mott绝缘体
| 能带理论 | Mott绝缘体 |
|---|---|
| 绝缘体：能带全满或全空，中间有能隙 | 绝缘体：能带部分填充，但电子被局域 |
| 决定因素：能带结构 | 决定因素：电子-电子相互作用 |
20.4.3 Mott转变
当调节某些参数（如压力、掺杂、带宽）时，Mott绝缘体可以转变为金属。这种相变称为Mott转变。
Mott转变可以用 Hubbard 模型来理解： - \(U/W\) 小：电子容易跳跃，系统是金属 - \(U/W\) 大：电子被局域，系统是Mott绝缘体
临界值大约在 \((U/W)_c \sim 1\)。
20.5 1.2.4 双占据态与投影
20.5.1 双占据态
在Hubbard模型中，当一个格点同时被自旋向上和向下的电子占据时，该格点处于双占据态（double occupancy）：
\[ |d\rangle = \hat{c}_{i\uparrow}^\dagger \hat{c}_{i\downarrow}^\dagger |0\rangle \]
双占据态的能量比空占据态高 \(U\)。
20.5.2 投影技术
为了理解Hubbard模型的低能物理，我们可以用投影技术：去除高能的双占据态，只考虑低能子空间。
在极限 \(U \gg t\) 时，系统行为由有效哈密顿量描述：
\[ H_{\text{eff}} = J \sum_{\langle ij \rangle} \mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j \]
其中 \(J = 4t^2/U\) 是超交换相互作用。这就是海森堡模型的来源！
20.6 本章小结
| 概念 | 公式/描述 | 物理意义 |
|---|---|---|
| 电子关联 | \(E_{\text{corr}} = E_{\text{exact}} - E_{\text{HF}}\) | 多体相互作用的能量修正 |
| Hubbard模型 | \(H = -t\sum c^\dagger c + U\sum n_in_{i\downarrow}\) | 描述强关联的基本模型 |
| 跳跃项 | \(-t\sum(c_i^\dagger c_j + h.c.)\) | 电子动能，倾向于离域 |
| Hubbard项 | \(U\sum n_{i\uparrow}n_{i\downarrow}\) | on-site排斥，倾向于局域 |
| Mott绝缘体 | \(U \gg W\)，能带部分填充但绝缘 | 电子强关联导致的绝缘体 |
| Mott转变 | 金属 \(\leftrightarrow\) Mott绝缘体 | 通过调节 \(U/W\) 实现的相变 |
| 超交换 | \(J = 4t^2/U\) | 高阶跳跃产生的磁相互作用 |
20.7 参考资料
- Hubbard, J. (1963). Electron correlations in narrow energy bands - 原始论文
- Imada, M., Fujimori, A., & Tokura, Y. (1998). Metal-insulator transitions - Reviews of Modern Physics
21 C4 电子相互作用与磁性模块：1.3 磁性的起源
21.1 章节概述
磁性是物质最基本的物理性质之一，从日常生活中的磁铁到硬盘存储，从核磁共振到量子计算，磁性现象无处不在。然而，磁性的本质是什么？为什么有些材料是磁性的，而有些不是？
直到量子力学建立之后，磁性的真正起源才被理解：它源于电子的自旋和电子之间的交换相互作用。本章将从顺磁性和抗磁性出发，阐述磁性发展的历史脉络，详解各种磁有序状态（铁磁、反铁磁）的本质，最终引入描述磁相互作用的 Heisenberg 模型。
学习目标： - 理解顺磁性和抗磁性的物理机制 - 掌握泡利顺磁性和朗道抗磁性的基本理论 - 理解铁磁性和反铁磁性的起源 - 掌握交换相互作用和海森堡模型的物理意义 - 理解磁有序的物理图像
21.2 1.3.1 磁性的早期认识
21.2.1 磁性的量子本质
现代物理学告诉我们，磁性源于： 1. 电子的自旋：电子自旋产生磁矩 2. 电子的轨道运动：轨道角动量也产生磁矩（但在固体中往往被淬灭） 3. 电子之间的交换相互作用：这是磁有序的驱动力
21.2.2 磁矩的来源
电子的自旋磁矩为：
\[ \mu_s = -g_s \frac{e}{2m} \mathbf{S} = -\mu_B \mathbf{\sigma} \]
其中 \(\mu_B = e\hbar/2m\) 是玻尔磁子，\(\mathbf{\sigma}\) 是泡利矩阵。
21.3 1.3.2 顺磁性
21.3.1 什么是顺磁性？
顺磁性（Paramagnetism）是指材料在外磁场作用下被微弱吸引的性质。顺磁材料在没有外场时不表现出磁性，但在外场作用下会产生与外场方向相同的磁化。
21.3.2 顺磁性的特征
- 磁化率为正：\(\chi > 0\)
- 数值很小：\(\chi \sim 10^{-5} - 10^{-3}\)
- 随温度升高而减小：\(\chi \propto 1/T\)（居里定律）
21.3.3 朗之万顺磁理论
朗之万（Langevin）用经典统计理论解释顺磁性：磁矩可以在空间任意方向，在外场作用下，磁矩倾向于沿外场方向排列。
磁化强度为：
\[ M = n \mu \mathcal{L}\left(\frac{\mu B}{k_B T}\right) \]
其中 \(\mathcal{L}(x) = \coth x - 1/x\) 是朗之万函数。
21.3.4 泡利顺磁性
对于金属中的自由电子气，需要用量子力学处理。泡利（Pauli）提出： 1. 电子自旋磁矩只有两个可能方向：平行或反平行于外场 2. 由于泡利不相容原理，只有费米面附近 \(k_B T\) 能量范围内的电子才能响应外场 3. 因此顺磁磁化率远小于经典值
泡利顺磁磁化率为：
\[ \chi_{\text{Pauli}} = \mu_0 \frac{3n\mu_B^2}{2E_F} \]
关键特征： - 与温度无关（低温近似下） - 比朗之万顺磁小很多
21.4 1.3.3 抗磁性
21.4.1 什么是抗磁性？
抗磁性（Diamagnetism）是材料在外磁场作用下被微弱排斥的性质。抗磁性是普遍存在的，任何材料都有抗磁性分量，但当其他磁性更强时，往往被掩盖。
21.4.2 抗磁性的特征
- 磁化率为负：\(\chi < 0\)
- 数值很小：\(\chi \sim -10^{-5}\)
- 几乎与温度无关
21.4.3 朗道抗磁性
朗道用量子力学处理自由电子在磁场中的运动。关键物理是： 1. 电子轨道运动产生感应电流 2. 根据楞次定律，感应电流产生的磁场与外场相反 3. 这导致负的磁化率
朗道抗磁磁化率为：
\[ \chi_{\text{Landau}} = -\mu_0 \frac{n\mu_B^2}{2E_F} \]
注意：\(\chi_{\text{Landau}} = -\frac{1}{3} \chi_{\text{Pauli}}\)
21.5 1.3.4 铁磁性
21.5.1 什么是铁磁性？
铁磁性（Ferromagnetism）是指材料在没有外场时也表现出磁性的性质。铁磁材料具有自发的磁化，即在没有外场的情况下，电子自旋自发排列整齐。
21.5.2 铁磁性的特征
- 自发磁化：在 \(T < T_C\)（居里温度）时存在
- 磁滞现象：磁化强度与外场关系呈回线
- 居里-外斯定律：\(\chi = C/(T - T_C)\)
- 磁各向异性：存在易磁化轴
21.5.3 外斯分子场理论
1907年，外斯（Weiss）提出分子场假说： - 存在一种”分子场”，使电子自旋平行排列 - 分子场正比于磁化强度：\(B_{\text{mol}} = \lambda M\) - 这是一种平均场近似
21.5.4 交换相互作用
铁磁性的真正量子力学起源是交换相互作用。
海森堡交换作用：
\[ H_{\text{ex}} = -J \mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j \]
- \(J > 0\)：铁磁耦合（自旋平行能量低）
- \(J < 0\)：反铁磁耦合（自旋反平行能量低）
21.6 1.3.5 反铁磁性
21.6.1 什么是反铁磁性？
反铁磁性（Antiferromagnetism）是指相邻自旋倾向于反平行排列的磁有序状态。反铁磁材料在低温下表现出自发的磁有序，但净磁化为零。
21.6.2 反铁磁性的特征
- 奈尔温度：\(T_N\) 以下出现反铁磁有序
- 净磁化为零：子格磁化相互抵消
- 磁化率行为：在 \(T_N\) 处有峰值
- 亚格子结构：磁原胞大于化学原胞
21.6.3 反铁磁性的起源
反铁磁性与铁磁性一样，源于交换相互作用，但交换积分 \(J < 0\)。
在海森堡模型中：
\[ H = -J \sum_{\langle ij \rangle} \mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j \]
- \(J > 0\)：铁磁
- \(J < 0\)：反铁磁
21.7 1.3.6 海森堡模型
21.7.1 模型的引入
海森堡模型是描述磁性最成功的经典模型之一：
\[ \hat{H} = -J \sum_{\langle ij \rangle} \mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j - g\mu_B \sum_i \mathbf{B} \cdot \mathbf{S}_i \]
其中： - 第一项是交换相互作用项 - 第二项是塞曼（Zeeman）项
21.7.2 交换积分的来源
交换积分 \(J\) 可以来源于： 1. 超交换：通过中间原子的间接相互作用 2. 双交换：与传导电子相关的相互作用 3. RKKY相互作用：通过传导电子的间接相互作用（稀磁半导体）
21.8 1.3.7 磁性的量子效应
21.8.1 Mermin-Wagner 定理
Mermin-Wagner 定理（1966）：在二维系统中，连续对称性不能被有限温度的自发对称性破缺所破坏。
这意味着： - 纯二维各向同性海森堡模型没有铁磁或反铁磁相变 - 磁各向异性是必要的（如单轴各向异性）
21.8.2 量子自旋液体
在某些强阻挫系统中，可能出现量子自旋液体： - 没有磁有序 - 自旋高度纠缠 - 存在分数化激发
21.9 本章小结
| 概念 | 公式/描述 | 物理意义 |
|---|---|---|
| 顺磁性 | \(\chi > 0\) | 外场使磁矩转向 |
| 泡利顺磁 | \(\chi \propto 1/E_F\) | 费米面电子响应 |
| 抗磁性 | \(\chi < 0\) | 轨道运动的感应电流 |
| 朗道抗磁 | \(\chi = -\frac{1}{3}\chi_{\text{Pauli}}\) | 量子化轨道 |
| 铁磁性 | \(J > 0\)，\(\mathbf{S}_i \parallel \mathbf{S}_j\) | 自发磁化 |
| 反铁磁性 | \(J < 0\)，\(\mathbf{S}_i \perp \mathbf{S}_j\) | 交错磁化 |
| 海森堡模型 | \(H = -J\sum \mathbf{S}_i\cdot\mathbf{S}_j\) | 磁相互作用的哈密顿量 |
| Mermin-Wagner | 二维无有限温磁有序 | 量子涨落 |
21.10 参考资料
- Ashcroft, M. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics - 第 31 章
- Kittel, C. (2005). Introduction to Solid State Physics - 第 15 章
22 C4 电子相互作用与磁性模块：1.4 磁性二维材料
22.1 章节概述
二维磁性材料是凝聚态物理的前沿热点。2017年，实验上首次确认了二维磁性材料的存在，打破了”Mermin-Wagner定理禁止二维长程磁有序”的传统认知。本章将介绍二维磁性的独特物理，包括Mermin-Wagner定理及其打破机制、典型的二维磁材料（CrI3、Fe3GeTe2等）、磁各向异性的关键作用，以及二维磁性的应用前景。
学习目标： - 理解Mermin-Wagner定理及其物理含义 - 掌握磁各向异性在二维磁性中的关键作用 - 了解典型二维磁材料的结构和性质 - 理解二维磁性的独特物理现象 - 了解二维磁性的研究前沿和应用前景
22.2 1.4.1 二维磁性的特殊性
22.2.1 Mermin-Wagner 定理的挑战
根据 Mermin-Wagner 定理（1966），在二维平衡态中，连续对称性不能被有限温度的自发对称性破缺所破坏。这意味着：
- 纯二维、各向同性的海森堡模型在有限温度下没有铁磁或反铁磁长程序
- 只有存在各向异性（如单轴各向异性）或离散对称性破缺时，二维磁有序才可能存在
22.2.2 打破 Mermin-Wagner 定理
要在二维系统中实现有限温度的磁有序，需要打破 Mermin-Wagner 定理的条件：
- 磁各向异性：引入易轴/易面各向异性
- 偶极-偶极相互作用：长程磁偶极相互作用
- 层间耦合：在多层系统中，层间相互作用增强有序
- 晶格各向异性：晶体对称性导致的各向异性
22.3 1.4.2 磁各向异性
22.3.1 什么是磁各向异性？
磁各向异性（Magnetic Anisotropy）是指磁性质随方向变化的特性。在磁性材料中，存在”易磁化方向”和”难磁化方向”。
22.3.2 各向异性能的来源
磁各向异性来源于：
自旋-轨道耦合（主要原因）：
- 电子自旋与轨道运动相互作用
- 轨道角动量与晶体结构耦合
- 最终导致自旋方向与晶轴的耦合
晶格应变：磁弹耦合
形状各向异性：样品形状导致的磁化方向依赖
22.3.3 各向异性能
对于单轴各向异性：
\[ E_{\text{an}} = -K_u \cos^2\theta \]
其中 \(\theta\) 是磁化强度与易轴的夹角，\(K_u\) 是各向异性常数。
22.4 1.4.3 典型二维磁材料
22.4.1 CrI3：层状铁磁绝缘体
结构： - CrI3 是层状材料 - 每个 Cr 原子与 6 个 I 原子配位，形成八面体 - 层间通过范德华力结合
磁性： - 铁磁（FM）基态 - 层内铁磁耦合 - 层间反铁磁耦合（多层） - 居里温度 \(T_C \approx 45\) K
22.4.2 Fe3GeTe2：二维铁磁金属
结构： - 金属硫化物 - Fe3GeTe2 (FGT) 层状结构 - Fe 原子形成三角格子
磁性： - 铁磁基态 - 居里温度 \(T_C \approx 220\) K（块体） - 二维情况下 \(T_C \approx 130\) K
22.5 1.4.4 二维磁性的实验发现
22.5.1 2017 年的突破
2017年，MIT的实验团队首次用磁光克尔效应（Magneto-Optical Kerr Effect）证实了： - CrI3 少层样品（3层、4层）表现出铁磁性 - Fe3GeTe2 少层样品表现出铁磁性
这打破了”二维材料不可能有长程磁有序”的传统认知！
22.5.2 打破 Mermin-Wagner 的机制
实验发现二维磁性的关键在于：
- 强磁各向异性：CrI3 有很强的面外各向异性
- 层间耦合：即使是少层样品，层间也有一定耦合
- 晶格对称性：Ising 型磁性（离散对称性）
22.6 本章小结
| 概念 | 公式/描述 | 物理意义 |
|---|---|---|
| Mermin-Wagner 定理 | 二维无有限温连续磁有序 | 热涨落抑制磁有序 |
| 磁各向异性 | \(E_{\text{an}} = -K_u \cos^2\theta\) | 磁性质的方向依赖 |
| 易轴/易面 | \(K_u > 0\) / \(K_u < 0\) | 磁化倾向的方向 |
| CrI3 | 层状铁磁绝缘体 | \(T_C \approx 45\) K |
| Fe3GeTe2 | 层状铁磁金属 | \(T_C \approx 220\) K |
| 磁光克尔效应 | 偏振光在磁表面旋转 | 二维磁性的探测手段 |
22.7 参考资料
- Mermin, N. D., & Wagner, H. (1966). Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in one- or two-dimensional isotropic Heisenberg models
- Gong, C., et al. (2017). Discovery of intrinsic ferromagnetism in two-dimensional van der Waals crystals - Nature
23 C4 电子相互作用与磁性模块：1.5 强关联电子系统
23.1 章节概述
强关联电子系统是当代凝聚态物理最重要、最活跃的研究领域之一。在这些系统中，电子-电子相互作用起着主导作用，导致了众多新奇的量子物态和物理现象。本章将介绍强关联电子系统的主要特征，阐述Mott相变的物理图像，讨论重费米子材料的独特性质，分析量子临界点的物理意义，并展望强关联物理的前沿研究方向。
学习目标： - 理解强关联电子系统的基本特征 - 掌握Mott相变的物理图像 - 了解重费米子材料的性质和物理机制 - 理解量子临界点的概念 - 了解强关联系统的前沿研究问题
23.2 1.5.1 强关联电子系统概述
23.2.1 什么是强关联电子系统？
强关联电子系统是指电子-电子相互作用在决定系统基态和低能激发中起主导作用的材料。在这些系统中：
- 电子的动能（带宽 \(W\)）与相互作用能（\(U\)）相当或更小
- 单电子近似失效
- 出现集体行为和新奇物态
23.2.2 强关联系统的共同特征
- 窄能带：d电子或f电子能带很窄
- 大有效质量：准粒子有效质量 \(m^* \gg m\)
- 强磁性：往往表现出铁磁或反铁磁有序
- 强关联效应：Mott转变、量子临界性等
23.3 1.5.2 Mott 相变
23.3.1 Mott 相变的定义
Mott相变是指在强关联系统中，由于电子-电子相互作用导致的金属-绝缘体相变。Mott相变可以在不改变晶体结构的情况下发生。
23.3.2 相变的驱动力
Mott相变的物理本质是动能与势能的竞争：
- 动能（跳跃项 \(-t\)）：倾向于电子离域，使系统成为金属
- 势能（Hubbard \(U\)）：倾向于电子局域，使系统成为绝缘体
23.3.3 经典图像：Mott相图
Mott相变可以用 Hubbard 模型来理解： - \(U/W\) 小：电子容易跳跃，系统是金属 - \(U/W\) 大：电子被局域，系统是Mott绝缘体
在临界值 \((U/W)_c\) 处发生相变。
23.4 1.5.3 典型强关联材料
23.4.1 过渡金属氧化物
钙钛矿结构： - SrTiO3：量子顺电体 - LaTiO3：Mott绝缘体 - V2O3：Mott转变
铜氧化物： - CuO、La2CuO4：反铁磁Mott绝缘体 - 掺杂后出现高温超导
23.4.2 铁基超导体
虽然铁基超导体的关联性不如铜氧化物强，但仍然是强关联系统： - FeSe、FeAs 化合物 - 多带效应 - 与磁涨落相关
23.5 1.5.4 重费米子材料
23.5.1 什么是重费米子？
重费米子（Heavy Fermion）是一类特殊的强关联材料，其中传导电子与局域f电子（通常是Ce、Yb、U的4f或5f电子）杂化，形成极其重的准粒子。
23.5.2 重费米子的特征
- 巨大的有效质量：\(m^* \sim 100 - 1000 \, m_e\)
- 大的低温电子比热系数：\(\gamma = C/T\) 在 \(T \to 0\) 时高达 \(100 - 1000\) mJ/(mol·K²)
- 低温电阻行为：\(\rho = \rho_0 + AT^2\)（费米液体）
23.5.3 物理机制：近藤效应
重费米子的物理可以用近藤效应（Kondo Effect）来理解：
近藤温度 \(T_K\)：描述局域磁矩被传导电子屏蔽的温度，\(T_K \sim 10 - 100\) K
近藤单态：局域f电子与传导电子形成自旋单态，导致低能激发
重费米子带：f电子参与导电，形成窄的准粒子带
23.6 1.5.5 量子临界点
23.6.1 什么是量子临界点？
量子临界点（Quantum Critical Point, QCP）是指在绝对零度时，由量子涨落驱动的连续相变的终点。
在 QCP 附近： - 经典相变被量子相变取代 - 量子涨落主导 - 出现奇特的物理行为
23.6.2 量子临界性的特征
- 费米液体失效：电阻 \(\rho \propto T^n\)（\(n < 2\)）
- 发散的物理量：电子比热系数 \(\gamma\)，磁化率 \(\chi\)
- 量子临界标度：物理量服从标度律
23.7 1.5.6 强关联系统的新奇物态
23.7.1 高温超导体
铜氧化物高温超导体是强关联系统的典型代表：
- 母化合物：反铁磁Mott绝缘体
- 掺杂：空穴或电子掺杂
- 相图：Dome状的超导相
23.7.2 量子自旋液体
在某些强阻挫系统中，可能出现量子自旋液体： - 没有磁有序 - 高度纠缠的量子态 - 分数化激发（spinon） - 候选材料：Herbertsmithite、Na4Ir3O8
23.8 本章小结
| 概念 | 公式/描述 | 物理意义 |
|---|---|---|
| 强关联电子系统 | \(U \gtrsim W\) | 电子相互作用主导 |
| Mott相变 | 金属 \(\leftrightarrow\) 绝缘体 | \(U/W\) 调控的相变 |
| 重费米子 | \(m^* \gg m\)，\(\gamma\) 大 | f电子与传导电子杂化 |
| 近藤效应 | \(T_K\) 温度 | 局域矩被屏蔽 |
| 量子临界点 | \(T = 0\) 连续相变 | 量子涨落驱动 |
| 非费米液体 | \(\rho \propto T^n\) (\(n<2\)) | 费米液体失效 |
23.9 参考资料
- Imada, M., Fujimori, A., & Tokura, Y. (1998). Metal-insulator transitions - Reviews of Modern Physics
- Coleman, P. (2007). Heavy Fermions: Electrons at the Edge of Magnetism - Handbook of Magnetism
- Lee, P. A., et al. (2006). Doping a Mott insulator: Physics of high-temperature superconductivity - Reviews of Modern Physics