4 F1 基础模块：1.3 振动与波
4.1 章节概述
振动和波是物理学中最重要的概念之一。从宏观的机械振动到微观的量子涨落，振动理论无处不在。本章将介绍简谐振动这一最基本也最重要的振动形式，以及波的传播特性。
开篇问题：为什么宇宙中几乎所有的运动都是振动或波动？
从原子的微小振动到星系的旋转，从声波到光波，从无线电到量子涨落——振动与波无处不在。这是因为振动的微分方程 \(\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0\) 是线性的，而线性系统是物理学中最”简单”、最普遍的研究对象。
学习目标： - 掌握简谐振动的基本方程和运动规律 - 理解简谐振动的能量特征 - 掌握波的传播特性和基本方程 - 理解群速度和相速度的概念
4.2 1.3.1 简谐振动
4.2.1 引导性问题
为什么荡秋千时不需要人推也能来回摆动？
仔细观察秋千的运动：当你松手时，秋千会自然地来回摆动，而且每次摆动的幅度似乎都差不多。这背后隐藏着一个怎样的物理规律？
4.2.2 简谐振动的定义
简谐振动（Simple Harmonic Motion, SHM）是最基本、最简单的振动形式。当一个物体受到的回复力与其位移成正比且方向相反时，物体所做的运动就是简谐振动。
回复力定律： \[ F = -kx \]
其中 \(k\) 是比例常数（对于弹簧振子，\(k\) 即为弹簧劲度系数），\(x\) 是相对平衡位置的位移。
物理图像： 想象你荡秋千时，当秋千荡到最高点时，你会停下来（速度为零），然后秋千开始下落。随着下降，你的速度越来越快，冲过最低点后继续向另一侧上升。在这个过程中，重力沿秋千绳方向的分力始终指向平衡位置——这就是”回复力”。而简谐振动就是这个过程的理想化抽象：无论你从哪里开始，只要回复力正比于位移，你就会做周期性的往复运动。
4.2.3 简谐振动方程
根据牛顿第二定律 \(F = ma\)（这是我们从牛顿力学学到的核心方程！）：
\[ m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx \]
整理得到简谐振动微分方程：
\[ \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0 \]
其中 \(\omega = \sqrt{k/m}\) 是角频率。
数学推导细节： 这是一个二阶线性常系数齐次微分方程。设 \(x = e^{\lambda t}\)，代入得特征方程 \(\lambda^2 + \omega^2 = 0\)，解得 \(\lambda = \pm i\omega\)。因此通解为 \(x = C_1 e^{i\omega t} + C_2 e^{-i\omega t}\)，利用欧拉公式 \(e^{\pm i\theta} = \cos\theta \pm i\sin\theta\) 可化为三角函数形式。
适用条件： 该方程仅在回复力严格满足 \(F = -kx\) 时成立，即”线性回复力”假设。对于大振幅单摆等非线性系统，该方程只是近似成立。
4.2.4 简谐振动的解
方程的解可以写成三角函数形式或指数形式：
三角函数形式： \[ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \]
或
\[ x(t) = A \sin(\omega t + \phi') \]
引导性问题：什么是”相位” \(\phi\)？它如何决定振动系统的初始状态？
物理图像： 想象一个旋转的唱片机。唱片上的指针做圆周运动，而从侧面看，指针的投影就在做简谐振动！相位 \(\phi\) 决定了”投影”开始时唱片转到了哪个角度。
指数形式（复数表示）： \[ x(t) = A e^{i(\omega t + \phi)} = A e^{i\omega t} \]
其中引入复数是为了数学处理上的方便，最后取实部得到物理量。
概念贯通——与量子力学的联系： 你是否注意到指数形式与量子力学中的波函数 \(\psi = A e^{i(kx - \omega t)}\) 惊人地相似？没错！量子力学中的德布罗意波正是这种简谐波动形式的推广。相位因子 \(e^{i(kx - \omega t)}\) 体现了波的干涉和衍射特性，这是我们理解微观世界的基础。
4.2.5 简谐振动的参数
| 参数 | 符号 | 公式 | 物理意义 |
|---|---|---|---|
| 振幅 | \(A\) | \(A = \sqrt{x_0^2 + (v_0/\omega)^2}\) | 偏离平衡位置的最大距离 |
| 角频率 | \(\omega\) | \(\omega = \sqrt{k/m}\) | 振动快慢（\(T = 2\pi/\omega\)） |
| 频率 | \(f\) | \(f = \omega/2\pi = 1/T\) | 单位时间振动次数 |
| 周期 | \(T\) | \(T = 2\pi\sqrt{m/k}\) | 完成一次振动所需时间 |
| 初相位 | \(\phi\) | \(\tan\phi = -v_0/(\omega x_0)\) | 决定初始状态 |
4.2.6 速度与加速度
对位移求导可得速度和加速度：
\[ v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \phi) \]
\[ a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x \]
引导性问题：为什么弹簧振子在通过平衡位置时速度最大，而加速度为零？
物理图像： 就像荡秋千——当你从高处冲下来经过最低点时，你的速度达到最大，但此时你不再受到向下的加速度（重力与绳子的拉力刚好平衡）。相反，在最高点时速度为零，但你受到指向平衡位置的加速度，这让你开始下落。
重要关系： - 速度超前位移 \(\pi/2\) 相位 - 加速度与位移反相
数学细节： 从相位角度理解，速度表达式中的 \(\sin\) 函数可以写成 \(\cos(\omega t + \phi - \pi/2)\)，这正是”超前 \(\pi/2\) 相位”的数学体现。
4.2.7 相空间表示
简谐振动在相空间（\(x\)-\(v\) 平面）中的轨迹是一个椭圆。
4.3 1.3.2 弹簧振子与单摆
4.3.1 引导性问题
为什么音乐厅的墙壁要做成凹凸不平的？
这个问题与我们即将学习的两种典型简谐振动系统——弹簧振子和单摆——有什么关系？
4.3.2 弹簧振子
水平弹簧振子是最典型的简谐振动系统。
系统参数： - 质量：\(m\) - 弹簧劲度系数：\(k\) - 角频率：\(\omega = \sqrt{k/m}\) - 周期：\(T = 2\pi\sqrt{m/k}\)
物理图像： 弹簧振子就像一个”弹性宇宙”。你可以把 \(k\) 想象成弹簧的”硬度”——越硬的弹簧（\(k\) 越大），振动越快；质量 \(m\) 就像惯性越大，振动越慢。这与你的直觉一致：重的秋千比轻的秋千荡得慢。
垂直弹簧振子： 在竖直方向振动的弹簧振子，平衡位置会发生变化，但振动仍是简谐的，周期不变。
推导细节： 对于垂直弹簧，设原长为 \(L_0\)，挂上质量 \(m\) 后平衡位置伸长 \(\Delta L = mg/k\)。以平衡位置为原点，回复力为 \(F = -k(x + \Delta L) + mg = -kx\)，可见振动方程与水平情况完全相同。
4.3.3 单摆（小角度近似）
引导性问题：为什么摆钟的周期与摆动幅度无关？这意味着什么？
摆角较小时（\(\theta < 15^\circ\)）：
单摆的运动方程：
\[ \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\theta = 0 \]
角频率：
\[ \omega = \sqrt{\frac{g}{L}} \]
周期：
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]
物理图像： 单摆的周期只取决于摆长 \(L\) 和重力加速度 \(g\)，与振幅无关！这是一个深刻的物理定律。伽利略正是发现了这个规律，才发明了摆钟。
推导细节： 从力矩角度考虑，摆的回复力矩为 \(\tau = -mgL\sin\theta \approx -mgL\theta\)（小角度近似 \(\sin\theta \approx \theta\)），而转动惯量 \(I = mL^2\)，由转动定律 \(\tau = I\alpha\) 得 \(mL^2 \ddot{\theta} + mgL\theta = 0\)，即 \(\ddot{\theta} + (g/L)\theta = 0\)。
适用条件： 小角度近似（\(\theta < 15^\circ\)）的误差约为 1%，对于精确计时需要考虑大角度修正。
精确解（非简谐）： 单摆的实际周期（精确到二阶）：
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\left(1 + \frac{1}{4}\sin^2\frac{\theta_0}{2} + \cdots\right) \]
概念贯通： 注意单摆的精确周期公式与振幅 \(\theta_0\) 有关，这意味着大角度下单摆不再是严格的简谐振动。这种”非线性”现象在量子力学中也有对应——强场下的量子系统会表现出非简谐性。
4.4 1.3.3 简谐振动的能量
4.4.1 引导性问题
为什么秋千不需要人推也能越荡越高？
仔细观察：荡秋千的人会” timing”他们的动作——在秋千通过最低点时站起来，在最高点时蹲下。这其中蕴含着怎样的能量转换秘密？
4.4.2 能量表达式
动能： \[ E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mA^2\omega^2\sin^2(\omega t + \phi) \]
势能： \[ E_p = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}mA^2\omega^2\cos^2(\omega t + \phi) \]
总能量： \[ E = E_k + E_p = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 = \text{constant} \]
物理图像： 想象一个能量”呼吸”的过程。当振子在平衡位置时，所有能量都是动能（像最快冲刺的人）；当振子在最大位移处时，所有能量都是势能（像荡到最高点的秋千，停下来的一瞬间）。能量就在这两种形式之间来回转换。
与牛顿力学的联系： 这里的能量守恒实际上是牛顿第二定律的另一个体现。我们可以从 \(F = ma\) 出发，对位移乘以 \(dx\) 并积分：\(m v dv = -k x dx\)，积分即得 \(E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \text{constant}\)。这正是机械能守恒！
4.4.3 能量交换
动能和势能随时间变化，但总和保持不变。它们以两倍于振动频率的频率相互转换。
推导细节： 使用三角恒等式 \(\sin^2\theta = \frac{1}{2}(1-\cos 2\theta)\) 和 \(\cos^2\theta = \frac{1}{2}(1+\cos 2\theta)\)，可得： \[ E_k = \frac{1}{4}kA^2[1 - \cos(2\omega t + 2\phi)] \] \[ E_p = \frac{1}{4}kA^2[1 + \cos(2\omega t + 2\phi)] \] 可见两者都以 \(2\omega\) 的频率振荡，且相位相反。
4.5 1.3.4 阻尼振动
4.5.1 引导性问题
为什么钢琴的琴弦停止发声需要很长时间，而鼓声很快就消失了？
这与阻尼有什么关系？
4.5.2 阻尼振动方程
实际的振动系统总是存在能量损耗。考虑阻尼力 \(F_d = -cv\)（\(c\) 为阻尼系数），这是机械系统中常见的能量耗散形式（如空气阻力、内摩擦等）：
\[ m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0 \]
令 \(2\beta = c/m\)，\(\omega_0 = \sqrt{k/m}\)（无阻尼时的固有频率）：
\[ \frac{d^2x}{dt^2} + 2\beta\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0 \]
推导细节： 设 \(x = e^{\lambda t}\)，特征方程为 \(\lambda^2 + 2\beta\lambda + \omega_0^2 = 0\)，解为 \(\lambda = -\beta \pm \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2}\)。根据根的情况分为三种阻尼状态。
物理图像： 阻尼就像给振动系统加了”刹车”。\(\beta\) 越大，刹车越”紧”，振动消失得越快。
4.5.3 三种阻尼状态
引导性问题：哪种阻尼状态能让系统最快回到平衡而又不”过冲”？
| 状态 | 条件 | 阻尼振荡解 | 物理特征 |
|---|---|---|---|
| 欠阻尼 | \(\beta < \omega_0\) | \(x = A e^{-\beta t}\cos(\omega_d t + \phi)\) | 来回摆动，逐渐停止 |
| 临界阻尼 | \(\beta = \omega_0\) | \(x = (A + Bt)e^{-\omega_0 t}\) | 最快回到平衡，不振荡 |
| 过阻尼 | \(\beta > \omega_0\) | \(x = A e^{\lambda_1 t} + B e^{\lambda_2 t}\) | 缓慢回到平衡，不振荡 |
其中 \(\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}\) 是阻尼振荡的角频率。
物理图像： 临界阻尼就像你推秋千时用恰到好处的力量让它刚好停在最高点——既不会来回摆动（像欠阻尼），也不会滑溜溜地停不下来（像过阻尼）。许多精密仪器（如灵敏电流计）都采用临界阻尼设计。
4.5.4 品质因子
品质因子 \(Q\) 描述振动的”锐度”：
\[ Q = \frac{\omega_0}{2\beta} = \frac{\pi E}{\Delta E} \]
其中 \(\Delta E\) 是每个周期损失的能量。
物理图像： \(Q\) 值越高，振动持续时间越长。钢琴弦的 \(Q\) 值很高（能量损失慢），所以余音长；鼓面的 \(Q\) 值低，所以声音短促。
概念贯通——与量子力学的联系： 阻尼振动中的 \(Q\) 值与量子力学中的”寿命”概念密切相关。在量子力学中，不稳定粒子（如激发态原子）有有限的寿命，这对应着能量有不确定的分布（能量-时间不确定性原理 \(\Delta E \cdot \Delta t \geq \hbar/2\)）。
4.6 1.3.5 波动的基本概念
4.6.1 引导性问题
为什么向水中投一颗石子，波纹会一圈一圈地向外扩散？
波是如何”知道”要向各个方向传播的？这与振动的本质有什么联系？
4.6.2 波的定义
波是振动在空间中的传播。机械波需要介质，而电磁波可以在真空中传播。
物理图像： 想象一群人站成一排传递口号。当第一个人喊出”物理”并做动作时，第二个人模仿他，第三个人模仿第二个……这样”振动”就沿着队伍传播出去了，但每个人只在自己附近振动。这就是机械波的本质！
与牛顿力学的联系： 机械波实际上是牛顿第三定律（作用力与反作用力）在连续介质中的体现。介质中相邻质点之间的弹性力相互作用，使得振动从一个点传播到下一个点。
4.6.3 波的分类
| 分类依据 | 类型 | 例子 |
|---|---|---|
| 方向 | 纵波 | 声波（空气分子的疏密交替） |
| 方向 | 横波 | 绳波（绳子上下抖动） |
| 维度 | 一维 | 绳子上的波 |
| 维度 | 二维 | 水面波纹 |
| 维度 | 三维 | 声波、光波 |
| 周期性 | 周期波 | 连续振动的波 |
| 周期性 | 脉冲波 | 单个脉冲（如敲击门） |
| 介质 | 机械波 | 声波、水波 |
| 介质 | 电磁波 | 光、无线电波 |
引导性问题：为什么光可以在真空中传播，而声音却不能？
这与电磁波的本质有什么关系？
4.6.4 描述波动的物理量
| 物理量 | 符号 | 定义 | 单位 |
|---|---|---|---|
| 波长 | \(\lambda\) | 相邻同相位点间的距离 | m |
| 周期 | \(T\) | 完成一次振动的时间 | s |
| 频率 | \(f = 1/T\) | 单位时间振动次数 | Hz |
| 波速 | \(v = \lambda f\) | 波传播的速度 | m/s |
| 波数 | \(k = 2\pi/\lambda\) | \(2\pi\) 长度内的波长数 | rad/m |
| 角频率 | \(\omega = 2\pi f\) | \(2\pi\) 时间内的振动次数 | rad/s |
4.6.5 波动方程
引导性问题：为什么波动方程中 \(kx - \omega t\) 的符号决定了波的传播方向？
简谐波的表达式：
沿 \(x\) 正方向传播的平面波：
\[ y(x,t) = A \cos(kx - \omega t + \phi) \]
沿 \(x\) 负方向传播：
\[ y(x,t) = A \cos(kx + \omega t + \phi) \]
推导细节： 对于固定相位点，满足 \(kx - \omega t = \text{constant}\)，对 \(t\) 求导得 \(k\frac{dx}{dt} - \omega = 0\)，即 \(\frac{dx}{dt} = \frac{\omega}{k} = v_p\)。这说明常数对应的点以速度 \(v_p\) 向 \(x\) 正方向移动。
相速度： \[ v_p = \frac{\omega}{k} = \lambda f \]
物理图像： 相速度就像波峰的移动速度。如果你站在水边扔石头，波峰向你走来——这个”波峰移动的速度”就是相速度。
4.7 1.3.6 波的能量与传播
4.7.1 引导性问题
为什么远处的钟声听起来比近处的弱？
波的能量是如何随距离变化的？
4.7.2 波的能量密度
对于一维简谐波，单位体积内的能量：
\[ w = \frac{1}{2}\rho\omega^2 A^2 \]
其中 \(\rho\) 是介质密度。
推导细节： 考虑介质中一小段长度为 \(dx\)、质量为 \(dm = \rho S dx\)（\(S\) 为截面积）的微元，其动能为 \(dE_k = \frac{1}{2}dm \cdot v^2 = \frac{1}{2}\rho S dx \cdot (A\omega\sin(kx-\omega t))^2\)，除以体积 \(S dx\) 得能量密度 \(w = \frac{1}{2}\rho\omega^2 A^2\sin^2(kx-\omega t)\)，对时间取平均（\(\langle\sin^2\rangle = 1/2\)）得 \(\bar{w} = \frac{1}{4}\rho\omega^2 A^2\)。
4.7.3 能流密度（波的强度）
单位时间内通过单位面积的能量：
\[ I = \frac{1}{2}\rho\omega^2 A^2 v \]
波的强度与振幅的平方成正比。
物理图像： 想象一条河流。水流携带的能量与水的流速和水量（对应振幅）都有关。波也是如此——能量正比于振幅的平方和波速。
引导性问题：为什么说”波的强度与振幅的平方成正比”？这在生活中有什么应用？
想想地震的破坏力、声波的响度——它们都与振幅的平方有关！
4.7.4 波的吸收
当波在介质中传播时，能量会被吸收。强度随距离指数衰减：
\[ I = I_0 e^{-\alpha x} \]
其中 \(\alpha\) 是吸收系数。
适用条件： 该公式适用于均匀介质中的小衰减情况。对于强吸收介质，需要使用更复杂的理论（如波传播方程）。
与量子力学的联系： 指数衰减形式 \(\sim e^{-\alpha x}\) 与量子隧穿效应中概率幅的衰减形式完全相同！这不是巧合——它们都反映了波的普遍性质。
4.8 1.3.7 群速度与相速度
4.8.1 引导性问题
为什么彩虹是彩色的？
这与群速度和相速度有什么关系？
4.8.2 相速度
相速度是波相位传播的速度：
\[ v_p = \frac{\omega}{k} \]
物理图像： 想象你站在海边。海浪的波峰向你涌来——这个波峰移动的速度就是相速度。即使波峰跑了很远，每个水分子其实只在原地附近上下振动。
4.8.3 群速度
群速度是波包（能量包）传播的速度：
\[ v_g = \frac{d\omega}{dk} \]
引导性问题：为什么波浪在深水中比浅水中跑得快？
这涉及到 \(\omega\) 与 \(k\) 的关系——即色散关系！
推导细节： 考虑两个频率相近的波 \(A\cos(k_1 x - \omega_1 t)\) 和 \(A\cos(k_2 x - \omega_2 t)\)，它们的和： \[ y = 2A\cos\left(\frac{\Delta k}{2}x - \frac{\Delta\omega}{2}t\right)\cos\left(\frac{k_1+k_2}{2}x - \frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right) \] 其中包络线的速度为 \(\Delta\omega/\Delta k \approx d\omega/dk = v_g\)。
物理图像： 群速度就像”浪潮”推进的速度。你在海上看到一波接一波的浪潮涌向岸边，这个浪潮整体移动的速度是群速度，而单个波峰移动的速度是相速度。
4.8.4 色散关系
当 \(\omega\) 与 \(k\) 不是线性关系时，波会发生色散。
非色散波： \(v_p = v_g\)（如电磁波在真空中）
色散波： \(v_p \neq v_g\)（如光在介质中、水波）
引导性问题：什么是”色散”？为什么棱镜能把白光分成彩虹？
实际上，不同颜色的光在玻璃中的相速度不同（\(v_p = c/n\)，折射率 \(n\) 与颜色有关）！这就是棱镜分光的原理。
4.8.5 波包
波包是有限长度的波列，由多个不同频率的简谐波叠加而成。
概念贯通——与量子力学的联系： 波包是量子力学的核心概念！电子等粒子在量子力学中被描述为”概率波包”。德布罗意提出 \(\lambda = h/p\) 和 \(E = h\nu\)，这意味着动量决定波长，能量决定频率。而群速度 \(v_g = d\omega/dk = dE/dp = p/m = v\)，正是粒子的运动速度！这是波动性与粒子性的统一。
4.9 1.3.8 干涉与衍射基础
4.9.1 引导性问题
为什么两个人合唱时有时声音变大，有时变小？
这个日常现象背后隐藏着怎样的物理原理？
4.9.2 波的叠加原理
当两列或几列波在空间相遇时，相遇处质点的位移等于各列波单独存在时位移的矢量和。
物理图像： 就像两个人同时推秋千——如果两人同时同方向推，秋千会荡得更高；如果一人往左推时另一人往右推，秋千可能根本动不了。波也是如此！
与牛顿力学的联系： 波的叠加原理实际上是线性系统的体现。在线性系统中，方程是线性的（如 \(F = -kx\)），这意味着解可以叠加。这是经典力学中最重要的原理之一。
4.9.3 干涉
引导性问题：什么是”同相”？什么是”反相”？
相长干涉（建设性干涉）： 当两列波相位差为 \(2\pi\) 的整数倍时：
\[ \Delta \phi = 2\pi m \quad (m = 0, \pm1, \pm2, \ldots) \]
振幅最大：\(A = A_1 + A_2\)
物理图像： 就像两个人合唱——如果他们同时开始唱、节奏完全一致，声音会叠加变得更响。这就是相长干涉！
相消干涉（破坏性干涉）： 当两列波相位差为 \(\pi\) 的奇数倍时：
\[ \Delta \phi = (2m+1)\pi \quad (m = 0, \pm1, \pm2, \ldots) \]
振幅最小：\(A = |A_1 - A_2|\)
物理图像： 想象一条小船在两列水波之间。如果波峰遇到波谷，小船可能几乎不动——这就是相消干涉。降噪耳机就是这个原理的应用！
推导细节： 设两列波 \(y_1 = A_1\cos(\omega t + \phi_1)\) 和 \(y_2 = A_2\cos(\omega t + \phi_2)\)，利用三角恒等式可得合振幅 \(A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\phi_2-\phi_1)}\)，当 \(\phi_2-\phi_1 = 2\pi m\) 时 \(A\) 最大，\(\phi_2-\phi_1 = (2m+1)\pi\) 时 \(A\) 最小。
4.9.4 驻波
驻波是由两列相干波沿相反方向传播叠加而成的。
引导性问题：为什么吉他弦被拨动后会有”嗡嗡”的声音？
驻波方程： \[ y = 2A\cos(kx)\cos(\omega t) \]
节点： 振幅为零的点（\(\cos(kx) = 0\)，即 \(x = (2m+1)\lambda/4\)） 腹部： 振幅最大的点（\(|\cos(kx)| = 1\)，即 \(x = m\lambda/2\)）
物理图像： 驻波就像”原地不动”的波。想象你站在两面墙之间喊话，声音在墙之间来回反射，形成”驻立”的波——某些点永远不动（节点），某些点振动最强（腹部）。吉他弦就是利用驻波发声的！
与量子力学的联系： 驻波的节点概念与量子力学中的”边界条件”密切相关。在量子力学中，电子在原子中的行为就像”被束缚的波”，只能形成特定的驻波模式——这正是原子能级量子化的本质！
4.10 本章小结
| 概念 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 简谐振动 | \(x = A\cos(\omega t + \phi)\) | 弹簧振子 |
| 角频率 | \(\omega = \sqrt{k/m}\) | 只与系统固有参数有关 |
| 周期 | \(T = 2\pi\sqrt{m/k}\) | 与振幅无关 |
| 能量 | \(E = \frac{1}{2}kA^2\) | 守恒 |
| 波长 | \(\lambda\) | 空间周期 |
| 相速度 | \(v_p = \lambda f\) | 相位传播速度 |
| 群速度 | \(v_g = d\omega/dk\) | 能量传播速度 |
4.11 练习题
- 简谐振动： 证明弹簧振子的周期与振幅无关。
- 能量分析： 计算简谐振动在一个周期内的平均动能和平均势能。
- 阻尼振动： 画出欠阻尼、临界阻尼和过阻尼的位移-时间曲线。
- 编程练习： 使用 Python 模拟弹簧振子的运动，绘制位移、速度、加速度和能量随时间变化的曲线。
4.12 延伸阅读
- 《振动与波》- 经典物理教材
- 《数学物理方法》- 傅里叶变换与波动方程
4.13 参考资料
- 本章代码示例：
../代码/f1_shmmotion.py../代码/f1_wavepacket.py
4.14 动画演示
运行以下 Python 代码可生成简谐振动动画：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 参数
A = 1.0
omega = 2.0
t = np.linspace(0, 3*np.pi/omega, 200)
x = A * np.cos(omega * t)
v = -A * omega * np.sin(omega * t)
a = -A * omega**2 * np.cos(omega * t)
# 绘图...