7 量子力学的诞生
8 F2 量子力学基础：1.1 量子力学的诞生
8.1 章节概述
本节导航：本节我们将追溯量子力学诞生的历史足迹。从黑体辐射的困境到光电效应的谜团，这些经典物理学无法解释的实验现象，最终导致了物理学史上最重要的范式转变——量子革命的到来。
19世纪末，经典物理学似乎已经趋于完备。牛顿力学、拉格朗日和哈密顿形式的分析力学、麦克斯韦电磁理论构成了宏伟的物理学大厦。然而，正当物理学家们庆祝胜利之际，一系列”乌云”悄然浮现。本章将讲述这些乌云如何汇聚成量子力学的风暴。
学习目标： - 理解经典物理学的两大困境：黑体辐射和光电效应 - 掌握普朗克的量子假设及其历史意义 - 理解光子概念如何解决光电效应问题 - 认识量子革命对物理学的深远影响
8.2 1.1.1 经典物理学的两朵乌云
8.2.1 思考问题
问题 1：为什么一个被加热到很高温度的物体（例如铁块）会先变成暗红色，然后变成橙黄色，最后变成蓝白色？这与量子力学有何关系？
问题 2：光电效应实验中，用蓝光照射金属板可以打出电子，但用再强的红光照射也无法打出电子。这是为什么？这与光的本质有何关系？
问题 3：普朗克在1900年引入的”能量量子化”假设在当时只是一个数学技巧来拟合实验数据，为什么后来被认为是一项革命性的贡献？
8.2.2 19世纪末的物理学图景
1890年代的物理学界笼罩着一股乐观主义情绪。英国物理学家开尔文勋爵（Lord Kelvin）在1900年的著名演讲中提到：“动力学理论断言，热和光都是运动的形式。但现在，这一理论的优美性和明晰性却被两朵乌云所笼罩。”
这两朵乌云指的是： 1. 迈克耳孙-莫雷实验：未能检测到”以太”的存在 2. 黑体辐射问题：理论预测与实验结果存在根本性矛盾
让我们聚焦于第二朵乌云——它直接导致了量子力学的诞生。
8.3 1.1.2 黑体辐射与普朗克假设
8.3.1 什么是黑体？
在讨论黑体辐射之前，我们首先需要理解什么是黑体。黑体是一个理想的吸热体：它吸收所有照射到其表面的电磁辐射，不反射任何光，因此呈现”黑色”。一个开有小孔的空腔（例如一个内部涂黑的盒子）就是很好的黑体近似。
当黑体被加热时，它会向外辐射电磁波。实验上测量到的辐射强度随波长分布呈现出一种非常特别的规律。
8.3.2 经典理论的困难
经典物理学采用瑞利-金斯定律来解释黑体辐射：
\[u(\nu, T) d\nu = \frac{8\pi \nu^2 k_B T}{c^3} d\nu\]
其中 \(u(\nu, T)\) 是频率为 \(\nu\)、温度为 \(T\) 时的辐射能量密度，\(k_B\) 是玻尔兹曼常数，\(c\) 是光速。
这个公式在低频（长波）区域与实验结果吻合良好，但在高频（短波）区域，它预测辐射能量会无限增大——这就是著名的紫外灾难。
物理图像：紫外灾难
想象一个装满电磁波的盒子。根据经典统计力学，每个振动模式（每个”自由度”）都应该平均分配能量 \(k_B T\)。随着频率升高，盒子里可以容纳的高频模式越来越多（像乐队中乐器数量随音高增加），因此总能量会趋于无穷大。但常识告诉我们，实际情况并非如此——高频辐射能量应该被抑制。
8.3.3 普朗克的突破
1900年，德国物理学家马克斯·普朗克（Max Planck）提出了一个革命性的假设：能量不是连续的，而是以离散的小包（称为量子）的形式存在。
对于频率为 \(\nu\) 的电磁波，其能量只能是最小能量单元 \(h\nu\) 的整数倍：
\[E = n h\nu, \quad n = 0, 1, 2, 3, \ldots\]
其中 \(h\) 是普朗克常数：
\[h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}\]
这是一个极其微小的数值——它决定了量子效应在日常尺度上通常不可见。
8.3.4 普朗克辐射定律
基于能量量子化假设，普朗克推导出了著名的辐射定律：
\[u(\nu, T) = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu/k_B T} - 1}\]
这个公式与实验结果完美吻合！它既能在低频极限下简化为瑞利-金斯定律，又能避免紫外灾难（因为高频模式的能量量子较大，在热平衡时激发概率极低）。
8.3.5 普朗克假设的历史意义
普朗克的文章发表后，他本人以及大多数物理学家都认为这只是一个数学技巧，用来拟合实验数据。普朗克本人后来花了多年时间尝试将量子化纳入经典物理学的框架，但未能成功。
然而，历史证明普朗克假设的意义远超他本人的预期：能量量子化不是一种近似，而是自然界的基本性质。普朗克常数 \(h\) 成为了继光速 \(c\) 之后最重要的自然常数。
物理图像：能量的”硬币”
经典物理学认为能量像水一样可以任意分割。普朗克的假设相当于说：能量像人民币一样，只能以分为单位（更准确地说，以”hν”为单位）进行分割。你可以有很多个”硬币”，但不能有”半个硬币”。这种离散性在宏观尺度上不明显（因为硬币非常小），但在微观尺度上至关重要。
8.4 1.1.3 光电效应与光子概念
8.4.1 光电效应的发现
1887年，海因里希·赫兹（Heinrich Hertz）在研究电磁波时发现：某些金属在受到紫外光照射时会发射电子。这就是光电效应。
然而，更令人困惑的实验结果还在后面。
8.4.2 实验事实
光电效应的实验事实令19世纪的物理学家困惑不已：
存在截止频率：对于某种金属，只有当光的频率高于某个阈值 \(\nu_0\) 时，才能发射电子。无论光强多大，频率低于 \(\nu_0\) 的光都无法打出电子。
瞬时发射：电子的发射几乎是瞬时的，不需要能量积累。
最大初动能与频率成正比：发射出的电子的最大动能 \(E_k^{\text{max}}\) 与入射光的频率 \(\nu\) 成正比：
\[E_k^{\text{max}} = h\nu - \Phi\]
其中 \(\Phi\) 是金属的逸出功（使电子脱离金属表面所需的最小能量）。
- 光强只影响电子数目：入射光越强，打出的电子越多，但电子的最大动能不变。
8.4.3 经典理论的困境
根据经典电磁波理论： - 光是电磁波，能量在空间中连续分布 - 光强越大，传递给电子的能量越多 - 任何频率的光都应该能累积足够能量打出电子
但实验结果与上述预测完全矛盾！特别是：为什么存在截止频率？为什么光电子的最大动能与光强无关？
8.4.4 爱因斯坦的光子假说
1905年，爱因斯坦提出了一个大胆的假说：光不仅表现出波动性，还表现出粒子性。光由离散的能量粒子组成，称为光子。
每个光子的能量为：
\[E = h\nu\]
当光子与金属中的电子碰撞时，光子的全部能量一次性传递给电子。如果 \(h\nu > \Phi\)，电子就能逸出金属表面，其动能为：
\[E_k = h\nu - \Phi\]
这完美解释了光电效应的所有实验事实！
8.4.5 光的波粒二象性
光电效应揭示了光的波粒二象性： - 波动性：干涉、衍射等现象需要波动理论解释 - 粒子性：光电效应、康普顿散射等现象需要粒子理论解释
这不是矛盾，而是自然界的基本特征：光既不是纯粹的波，也不是纯粹的粒子，而是具有双重性质。
物理图像：光既是波又是粒子？
这听起来很奇怪。想象一个例子：当我们观察彩虹时，我们看到的是光的波动性质（颜色对应波长）；当我们用太阳能电池时，我们利用的是光的粒子性质（光子能量驱动电子）。
实际上，光的”波”和”粒子”描述的是不同实验条件下的行为。这就像一个人：在远处看像是连续移动的点，近处看却能看到他的动作细节。两种描述都是真实的，只是适用于不同情形。
8.5 1.1.4 量子革命的意义
8.5.1 从经典到量子
量子力学的诞生标志着物理学范式的根本转变：
| 经典物理 | 量子物理 |
|---|---|
| 连续的能量 | 离散的能量量子 |
| 决定论 | 概率性 |
| 确定的轨道 | 波函数描述 |
| 观测不影响系统 | 测量导致波函数坍缩 |
8.5.2 关键概念的演化
- 能量的连续性被量子化所取代
- 拉普拉斯决定论被量子不确定性所取代
- 轨道概念被概率分布所取代
8.5.3 量子力学的影响
量子力学不仅是物理学的革命，还深刻影响了： - 化学（量子化学） - 材料科学（半导体物理） - 信息科学（量子计算、量子通信） - 生物学（量子生物学）
历史意义
普朗克常数 \(h\)、光速 \(c\)、引力常数 \(G\) 并称为物理学三大基本常数。普朗克、爱因斯坦、玻尔、海森堡、薛定谔、狄拉克等人共同开创的量子力学，至今仍是人类认识自然界最成功的理论。
8.6 本章小结
黑体辐射问题：经典瑞利-金斯定律预测紫外灾难，普朗克通过引入能量量子化假设 \(E = n h\nu\) 解决了这一困难。
光电效应：经典波动理论无法解释截止频率、瞬时发射等实验事实。爱因斯坦提出光子假说 \(E = h\nu\)，完美解释了光电效应。
量子假说的革命性：普朗克和爱因斯坦的工作表明能量不仅可以是连续的离散单元，这是对经典物理学的根本突破。
波粒二象性：光既表现出波动性质（干涉、衍射），又表现出粒子性质（光电效应），这是量子世界的基本特征。
8.7 思考题
定量分析：计算波长为 500 nm（绿光）的一个光子所携带的能量（以 eV 为单位）。
概念辨析：如果光电效应的截止频率是 \(\nu_0 = 5.0 \times 10^{14}\) Hz，计算该金属的逸出功（以 eV 为单位）。
实验设计：设计一个实验方案来验证光子能量 \(E = h\nu\) 的关系（提示：考虑改变入射光频率，测量光电子的最大动能）。
拓展思考：如果普朗克常数 \(h\) 变得很大（例如增大1000倍），日常生活会有什么样的变化？请从至少两个方面进行分析。
历史探究：查阅资料，了解普朗克在提出量子假说时的心理状态，以及他是如何被同时代的人看待的。
8.8 参考资料
- Planck, M. (1900). “On the Law of Distribution of Energy in the Normal Spectrum”. Annalen der Physik.
- Einstein, A. (1905). “On a Heuristic Point of View Concerning the Production and Transformation of Light”. Annalen der Physik.
- Weinberg, S. (2013). “Lectures on Quantum Mechanics”.