20 C6 拓扑物理
凝聚态物理与量子材料基础
21 C6 拓扑物理模块：1.1 对称性与拓扑分类
21.1 章节概述
拓扑物态是凝聚态物理近二十年来最重要的突破之一。与传统的物态分类不同，拓扑物态的分类不依赖于系统的局域性质，而是由系统的整体几何性质决定。对称性在拓扑分类中扮演着核心角色：正是对称性的存在保护了拓扑不变量，使得拓扑态具有鲁棒性。
学习目标： - 理解对称性与拓扑保护的物理联系 - 掌握 Altland-Zirnbauer 分类框架 - 理解 Z2 不变量的物理意义 - 掌握拓扑分类表的结构与应用
21.2 1.1.1 从对称性到拓扑
21.2.1 对称性的物理意义
在物理学中，对称性是一个核心概念。诺特定理告诉我们，每个连续对称性都对应一个守恒定律。在凝聚态物理中，对称性决定了电子系统的能带结构、输运性质以及物态分类。
常见的对称性：
- 时间反演对称性（TRS）：\(T: t \rightarrow -t\)
- 在量子力学中，时间反演算符 \(T\) 满足 \(T^2 = -1\)（对于自旋-1/2粒子）
- 时间反演对称性保护了量子自旋霍尔效应等拓扑态
- 空间反演对称性（IS）：\(\mathbf{r} \rightarrow -\mathbf{r}\)
- 定义宇称算符 \(P\)
- 影响能带的简并情况
- 粒子-空穴对称性（PHS）：\(C: \psi \rightarrow \psi^\dagger\)
- 超导系统中库珀对凝聚导致
- 是拓扑超导的基础
- 手征对称性（CS）：\(S = T \cdot C\)
- 也称为子格对称性
- 在某些低维系统中出现
21.2.2 拓扑保护的物理图像
拓扑保护的直观理解：
- 拓扑不变量是整数（如陈数、Z2数）
- 连续形变不会改变拓扑不变量
- 只有当对称性被破坏时，拓扑态才会发生相变
21.3 1.1.2 Altland-Zirnbauer 分类框架
21.3.1 分类框架的建立
Altland-Zirnbauer（AZ）分类框架是拓扑物态分类的理论基础，由 Andreas Altland 和 Martin Zirnbauer 于1997年提出。
21.3.2 对称性类别
在 AZ 分类中，系统根据以下三种对称性进行分类：
| 符号 | 对称性 | 名称 | 算符性质 |
|---|---|---|---|
| A | 无对称性 | 无 | - |
| AIII | 手征对称性 | Chiral | \(S = T \cdot C\) |
| AI | 时间反演对称性 | Real | \(T^2 = +1\) |
| BDI | 时间反演 + 手征 | Real | \(T^2 = +1\), \(S\) |
| D | 粒子-空穴对称性 | D | \(C^2 = +1\) |
| DIII | 时间反演 + 粒子-空穴 | DIII | \(T^2 = -1\), \(C\) |
| AII | 时间反演对称性 | Real | \(T^2 = -1\) |
| CII | 时间反演 + 手征 | Real | \(T^2 = -1\), \(S\) |
| C | 粒子-空穴对称性 | C | \(C^2 = -1\) |
| CI | 时间反演 + 粒子-空穴 | CI | \(T^2 = +1\), \(C\) |
21.4 1.1.3 Z2 不变量
21.4.1 Z2 拓扑不变量
对于具有时间反演对称性的系统，可以用 Z2 不变量来分类：
- \(\nu = 0\)：普通绝缘体
- \(\nu = 1\)：拓扑绝缘体
21.4.2 Z2 的物理意义
Z2 不变量可以通过以下方式判断： - 费米面处的能隙 - 镜像陈数 - 基于时间反演极化
21.5 本章小结
| 概念 | 公式/描述 | 物理意义 |
|---|---|---|
| 时间反演对称性 | \(T^2 = \pm 1\) | 保护拓扑态 |
| Altland-Zirnbauer | 10个对称类 | 拓扑分类框架 |
| Z2 不变量 | \(\nu = 0, 1\) | 拓扑绝缘体分类 |
22 C6 拓扑物理模块：1.2 Berry 相位与 Berry 曲率
22.1 章节概述
Berry 相位是量子力学中一个深刻而优美的概念，它描述了量子系统在参数空间中移动时累积的几何相位。与动力学相位不同，Berry 相位只依赖于系统的几何路径，因此也称为几何相位。Berry 曲率是 Berry 相位的推广，它在动量空间中扮演着类似于磁场在实空间中的角色。
学习目标： - 理解 Berry 相位的物理起源和数学表述 - 掌握 Berry 曲率的概念及其与拓扑不变量的关系 - 理解量子几何张量的物理意义 - 掌握 Berry 相位在凝聚态物理中的应用
22.2 1.2.1 Berry 相位的物理起源
22.2.1 从绝热定理到 Berry 相位
考虑一个量子系统，其哈密顿量依赖于一组参数 \(\mathbf{R}(t)\)。如果参数随时间缓慢变化，系统将保持在其瞬时本征态上。
绝热定理：
设哈密顿量 \(H(\mathbf{R}(t))\) 的本征问题为： \[ H(\mathbf{R}(t)) |n(\mathbf{R}(t))\rangle = E_n(\mathbf{R}(t)) |n(\mathbf{R}(t))\rangle \]
22.2.2 Berry 相位
Michael Berry 在 1984 年发现，除了动力学相位外，系统还会累积一个额外的几何相位——Berry 相位。
Berry 相位： \[ \gamma_n = i\oint_{\mathcal{C}} \langle n(\mathbf{R})|\nabla_{\mathbf{R}} n(\mathbf{R})\rangle \cdot d\mathbf{R} \]
或等价地写成： \[ \gamma_n = \oint_{\mathcal{C}} \mathbf{A}_n(\mathbf{R}) \cdot d\mathbf{R} \]
其中 \(\mathbf{A}_n(\mathbf{R}) = i\langle n(\mathbf{R})|\nabla_{\mathbf{R}} n(\mathbf{R})\rangle\) 称为 Berry 联络。
22.3 1.2.2 Berry 曲率
22.3.1 定义
Berry 曲率是 Berry 联络的旋度：
\[ \mathbf{F}_n(\mathbf{R}) = \nabla_{\mathbf{R}} \times \mathbf{A}_n(\mathbf{R}) \]
22.3.2 动量空间中的 Berry 曲率
在动量空间中，Berry 曲率为：
\[ \Omega_n^z(\mathbf{k}) = \partial_{k_x} A_n^y - \partial_{k_y} A_n^x \]
其中 Berry 联络定义为：
\[ \mathbf{A}_n(\mathbf{k}) = i\langle u_n(\mathbf{k})|\nabla_{\mathbf{k}} u_n(\mathbf{k})\rangle \]
22.3.3 陈数
对于二维系统，陈数定义为：
\[ C_n = \frac{1}{2\pi} \int_{BZ} \Omega_n^z(\mathbf{k}) d^2k \]
陈数是整数，描述了能带的拓扑性质。
22.4 1.2.3 物理效应
22.4.1 反常霍尔效应
Berry 曲率直接贡献到霍尔电导：
\[ \sigma_{xy} = -\frac{e^2}{h} \sum_n \int_{BZ} \Omega_n^z(\mathbf{k}) f(\mathbf{k}) \frac{d^2k}{(2\pi)^2} \]
22.4.2 量子自旋霍尔效应
在时间反演对称系统中，自旋依赖的 Berry 曲率导致量子自旋霍尔效应。
22.5 本章小结
| 概念 | 公式/描述 | 物理意义 |
|---|---|---|
| Berry 相位 | \(\gamma = \oint \mathbf{A} \cdot d\mathbf{R}\) | 几何相位 |
| Berry 曲率 | \(\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{A}\) | 类似于磁场 |
| 陈数 | \(C = \frac{1}{2\pi}\int \Omega\) | 拓扑不变量 |
| 反常霍尔 | \(\sigma_{xy} \propto \int \Omega\) | Berry曲率贡献 |
23 C6 拓扑物理模块：1.3 拓扑绝缘体
23.1 章节概述
拓扑绝缘体是一类具有特殊电子结构的材料，其体能带是绝缘的，但表面或边界存在导电的拓扑保护态。这些表面态具有自旋-动量锁定的特性，即电子的自旋方向与其运动方向相锁定。拓扑绝缘体是拓扑物理最重要的研究方向之一，在量子计算和自旋电子学等领域有广阔的应用前景。
学习目标： - 理解拓扑绝缘体的基本概念 - 掌握 Z2 拓扑不变量 - 理解表面态的自旋-动量锁定 - 了解拓扑绝缘体的实验验证
23.2 1.3.1 拓扑绝缘体的基本概念
23.2.1 什么是拓扑绝缘体？
拓扑绝缘体是一种特殊的绝缘体，其特点是： - 体能带：有能隙，绝缘 - 表面态：存在无间隙的导电表面态 - 拓扑保护：表面态受拓扑不变量保护
23.2.2 拓扑保护的物理图像
表面态的存在由拓扑不变量保护： - 只要不破坏对称性，表面态就不会消失 - 表面态对无序和缺陷免疫
23.3 1.3.2 二维拓扑绝缘体（量子自旋霍尔效应）
23.3.1 理论预测
2005年，Kane和Mele提出在石墨烯中可以实现量子自旋霍尔效应。
23.3.2 物理机制
- 时间反演对称性保护
- Z2 不变量 \(\nu = 1\)
- 自旋-动量锁定：不同自旋的电子向相反方向运动
23.3.3 实验验证
- HgTe 量子阱（2007年）
- 边缘态的输运测量
23.4 1.3.3 三维拓扑绝缘体
23.4.1 能带反转
三维拓扑绝缘体的形成需要能带反转： - 价带和导带在某些高对称点发生交叉 - 拓扑不变量发生改变
23.4.2 表面态
三维拓扑绝缘体的表面态： - 线性色散的 Dirac 锥 - 自旋-动量锁定 - 费米速度 \(v_F \approx 5 \times 10^5\) m/s
23.4.3 典型材料
| 材料 | 特征 |
|---|---|
| Bi2Se3 | 简单 Dirac 锥 |
| Bi2Te3 | 有隙 Dirac 锥 |
| Sb2Te3 | 拓扑绝缘体 |
23.5 本章小结
| 概念 | 公式/描述 | 物理意义 |
|---|---|---|
| 拓扑绝缘体 | 体能带绝缘，表面导电 | 新型量子物态 |
| Z2 不变量 | \(\nu = 0, 1\) | 分类 |
| 自旋-动量锁定 | 自旋方向 \(\perp\) 动量 | 表面态特征 |
| Dirac 锥 | \(E = \pm v_F k\) | 表面态色散 |
24 C6 拓扑物理模块：1.4 拓扑半金属
24.1 章节概述
拓扑半金属是一类介于金属和绝缘体之间的拓扑材料。与普通金属不同，拓扑半金属的费米面由离散的点或线组成，这些点或线具有非平凡的拓扑保护。本章将介绍 Weyl 半金属、Dirac 半金属和节点线半金属的基本概念、物理性质和实验验证。
学习目标： - 理解拓扑半金属的基本概念 - 掌握 Weyl 点和 Dirac 点的物理性质 - 理解手征异常等拓扑效应
24.2 1.4.1 拓扑半金属概述
24.2.1 什么是拓扑半金属？
拓扑半金属的费米面由低维的节点构成： - Weyl 半金属：费米面是离散的 Weyl 点 - Dirac 半金属：费米面是离散的 Dirac 点 - 节点线半金属：费米面是闭合的节点线
24.2.2 与拓扑绝缘体的区别
- 拓扑绝缘体：体能带有能隙，表面/边界有拓扑态
- 拓扑半金属：体能带交叉点，费米面收缩为点/线
24.3 1.4.2 Weyl 半金属
24.3.1 Weyl 方程
Weyl 费米子满足 Weyl 方程：
\[ H(\mathbf{k}) = \pm \hbar v_F \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma} \]
24.3.2 Weyl 点
- 每个 Weyl 点携带手征荷 \(\pm 1\)
- Weyl 点总是成对出现
- 手征异常是重要特征
24.3.3 物理效应
- 手征异常：在磁场下，左/右手征费米子数不守恒
- 弧表面态：连接 Weyl 点的表面态
- 反常霍尔效应： Weyl 点贡献大霍尔电导
24.4 1.4.3 Dirac 半金属
24.4.1 Dirac 点
Dirac 点是四重简并点： - 由时间反演和空间反演对称性保护 - 可以分裂为两个 Weyl 点
24.4.2 典型材料
- Na3Bi：三维 Dirac 半金属
- Cd3As2：三维 Dirac 半金属
24.4.3 与 Weyl 半金属的关系
打破时间反演或空间反演对称性，Dirac 点可转变为 Weyl 点。
24.5 本章小结
| 概念 | 公式/描述 | 物理意义 |
|---|---|---|
| 拓扑半金属 | 费米面为点/线 | 新型拓扑材料 |
| Weyl 点 | 手征荷 \(\pm 1\) | 磁单极子 |
| 手征异常 | 手征数不守恒 | Weyl 半金属特征 |
| Dirac 点 | 四重简并 | 可分裂为 Weyl 点 |
25 C6 拓扑物理模块：1.5 拓扑超导与马约拉纳
25.1 章节概述
拓扑超导是一类特殊的超导体，其超导序参量具有非平凡的拓扑结构。拓扑超导最引人注目的特点是可以在边界或缺陷处产生马约拉纳费米子——一种自身的反粒子的准粒子。马约拉纳费米子由于其非阿贝尔统计特性，被认为是实现拓扑量子计算的潜在载体。
学习目标： - 理解拓扑超导的基本概念 - 掌握马约拉纳费米子的性质 - 了解拓扑量子计算的潜力
25.2 1.5.1 拓扑超导的基本概念
25.2.1 什么是拓扑超导？
拓扑超导是超导状态具有拓扑性质的体系： - 超导能隙 - 边界/缺陷处存在无间隙态 - 这些无间隙态是马约拉纳费米子
25.2.2 分类
- 1D 拓扑超导：边界有马约拉纳零能模
- 2D 拓扑超导：边缘有手征马约拉纳模
25.3 1.5.2 马约拉纳费米子
25.3.1 定义
马约拉纳费米子是其自身的反粒子：
\[ \gamma = \gamma^\dagger \]
25.3.2 物理性质
- 零能态
- 非阿贝尔统计
- 可用于拓扑量子计算
25.3.3 实验实现
- 半导体-超导体纳米线
- 强自旋轨道耦合
- 磁场
- 诱导超导
- 铁基超导体
- 界面拓扑超导
- 马约拉纳零能模
25.4 1.5.3 拓扑量子计算
25.4.1 量子计算潜力
马约拉纳费米子可用于拓扑量子计算： - 非阿贝尔统计 - 对退相干有免疫力 - 编织操作实现量子门
25.4.2 挑战
- 材料的制备和控制
- 马约拉纳模的探测
- 量子门操作
25.5 本章小结
| 概念 | 公式/描述 | 物理意义 |
|---|---|---|
| 拓扑超导 | 超导序参量拓扑 | 边界态 |
| 马约拉纳费米子 | \(\gamma = \gamma^\dagger\) | 自身反粒子 |
| 非阿贝尔统计 | 交换改变量子态 | 拓扑量子计算 |
25.6 参考资料
- M. Z. Hasan & C. L. Kane, “Colloquium: Topological insulators”, Rev. Mod. Phys. (2010)
- X. G. Wan, “Topological semimetals”, Nat. Mater. (2011)
- J. D. Sau et al., “Non-Abelian quantum order in spin-orbit-coupled semiconductors”, Phys. Rev. B (2010)