21  C7 超导与强关联

凝聚态物理与量子材料基础

作者

Atom - 凝聚态物理与量子材料

发布于

Invalid Date

22 C7 超导与强关联模块：1.1 超导基本现象

22.1 章节概述

超导是凝聚态物理学中最重要的宏观量子现象之一。自1911年昂内斯（Heike Kamerlingh Onnes）首次发现汞的超导性以来，超导研究一直是物理学的前沿课题。超导现象的核心特征是零电阻和完全抗磁性，这些奇特性质源于电子的量子凝聚。

学习目标： - 理解零电阻效应的实验表现与物理本质 - 掌握完全抗磁性的概念及其与零电阻的区别 - 了解同位素效应及其对超导机制理解的启示 - 理解超导相图的物理图像

22.2 1.1.1 零电阻效应

22.2.1 实验发现

1911年，荷兰物理学家昂内斯在测量汞（Hg）的电阻随温度变化时，发现了一个惊人的现象：当温度降至4.2K附近时，汞的电阻突然下降到仪器无法检测到的程度。

22.2.2 临界温度

超导转变发生的温度称为临界温度（\(T_c\)）。当温度降至\(T_c\)以下时，材料的电阻突然降为零。

材料 \(T_c\) (K)
汞 (Hg) 4.2
铅 (Pb) 7.2
铝 (Al) 1.2
铌三锡 (Nb3Sn) 18.1
镁二硼 (MgB2) 39
铜氧化物 135+
氢化物 200+

22.2.3 零电阻的物理意义

零电阻意味着电子在超导状态下可以无阻碍地流动，形成持续的电流而没有任何能量损耗。

超导状态下，电子形成一种特殊的凝聚态——库珀对（Cooper pairs）。

22.3 1.1.2 完全抗磁性（迈斯纳效应）

22.3.1 迈斯纳效应的发现

1933年，德国物理学家瓦尔特·迈斯纳（Walther Meissner）和罗伯特·奥克森费尔德在研究超导的磁性质时，发现当外加磁场进入超导体时，磁通量会被完全排出超导体之外。

这一现象被称为迈斯纳效应（Meissner effect），它表明超导态不仅具有零电阻特性，还具有完全抗磁性。

22.3.2 迈斯纳效应的实验表现

  1. 磁场排斥：超导体内部\(B = 0\)，磁场被完全排斥在超导体外
  2. 与降温顺序无关：无论先降温后加磁场，还是先加磁场后降温，最终结果相同
  3. 表面电流：在超导体表面流动的屏蔽电流产生相反的磁场，抵消内部磁场

22.4 1.1.3 伦敦方程

22.4.1 第一伦敦方程（电阻方程）

\[ \frac{\partial \mathbf{j}_s}{\partial t} = \frac{n_s e^2}{m} \mathbf{E} \]

22.4.2 第二伦敦方程（迈斯纳方程）

\[ \nabla \times \mathbf{B} = -\frac{n_s e^2}{m} \mathbf{B} \]

这直接导致迈斯纳效应。

22.4.3 伦敦穿透深度

\[ \lambda_L = \sqrt{\frac{m}{\mu_0 n_s e^2}} \]

磁场在超导体内部指数衰减。

22.5 1.1.4 同位素效应

22.5.1 实验发现

超导临界温度与原子质量的关系：

\[ T_c \propto M^{-\alpha}, \quad \alpha \approx 0.5 \]

22.5.2 物理意义

同位素效应表明晶格振动（声子）在超导配对中起关键作用。

22.6 本章小结

概念 公式/描述 物理意义
零电阻 \(R = 0\) 无能量损耗
迈斯纳效应 \(B = 0\) 内部 完全抗磁
伦敦方程 描述超导电磁响应 穿透深度
同位素效应 \(T_c \propto M^{-1/2}\) 声子参与配对

23 C7 超导与强关联模块：1.2 BCS理论

23.1 章节概述

BCS理论是解释常规超导机制的经典理论，由Bardeen、Cooper和Schrieffer于1957年提出。BCS理论成功解释了超导的微观机制，包括库珀对的形成、能隙的存在、以及各种超导性质。本章将详细介绍BCS理论的物理图像、数学表述和主要结论。

学习目标： - 理解库珀对的形成机制 - 掌握BCS波函数和能隙方程 - 理解BCS理论的关键预言 - 了解BCS理论的适用范围和局限性

23.2 1.2.1 库珀问题

23.2.1 库珀对的形成

1956年，Leon Cooper考虑了一个简单模型：两个电子在费米海上方相互作用。

关键物理： - 电子-电子吸引（通过声子媒介） - 费米海屏蔽 - 形成束缚态

结果： 即使微弱的吸引势也能形成束缚态——库珀对！

23.3 1.2.2 BCS波函数

23.3.1 超导基态

BCS提出了超导基态波函数：

\[ |\Psi_{\text{BCS}}\rangle = \prod_{\mathbf{k}} (u_{\mathbf{k}} + v_{\mathbf{k}} c_{\mathbf{k}\uparrow}^\dagger c_{-\mathbf{k}\downarrow}^\dagger) |0\rangle \]

其中 \(|u_{\mathbf{k}}|^2 + |v_{\mathbf{k}}|^2 = 1\)。

23.3.2 物理意义

  • 电子成对（库珀对）凝聚
  • 对凝聚到同一个量子态
  • 动量 \(\mathbf{k}\) 和 \(-\mathbf{k}\) 的电子配对

23.4 1.2.3 能隙方程

23.4.1 能隙定义

\[ \Delta_{\mathbf{k}} = -\sum_{\mathbf{k}'} V_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} \frac{\Delta_{\mathbf{k}'}}{2E_{\mathbf{k}'}} \]

其中 \(E_{\mathbf{k}} = \sqrt{\xi_{\mathbf{k}}^2 + |\Delta_{\mathbf{k}}|^2}\) 是准粒子能量。

23.4.2 常数相互作用近似

假设 \(V_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} = -V\)（常数吸引势），则：

\[ \Delta = 2\omega_D e^{-1/N(0)V} \]

其中 \(\omega_D\) 是德拜频率，\(N(0)\) 是费米面态密度。

23.4.3 能隙温度关系

\[ \Delta(T) = \Delta(0) \sqrt{1 - \left(\frac{T}{T_c}\right)^{3/2}} \]

23.5 1.2.4 BCS理论的关键预言

23.5.1 临界温度

\[ k_B T_c = 1.14 \hbar\omega_D e^{-1/N(0)V} \]

23.5.2 比热跳跃

在 \(T_c\) 处，电子比热有跳跃：

\[ \frac{\Delta C}{C_n} = 1.43 \]

23.5.3 伦敦方程的微观基础

BCS理论为伦敦方程提供了微观解释。

23.6 1.2.5 超导能隙

23.6.1 能隙的存在

超导能隙 \(\Delta\) 是BCS理论的核心预言： - 在 \(T < T_c\) 时，存在能隙 - 准粒子激发需要最小能量 \(2\Delta\)

23.6.2 约瑟夫森效应

两个超导体通过薄绝缘层耦合： - 直流约瑟夫森效应 - 交流约瑟夫森效应

23.7 本章小结

概念 公式/描述 物理意义
库珀对 两电子配对 超导凝聚单元
BCS波函数 成对凝聚 超导基态
能隙 \(2\Delta\) 最低激发能量
\(T_c\) \(1.14\omega_D e^{-1/NV}\) 临界温度

24 C7 超导与强关联模块：1.3 高温超导

24.1 章节概述

铜氧化物高温超导体的发现（1986年）标志着超导研究进入了一个新时代。\(T_c\)从30K迅速提升到160K（常压）和200K以上（高压），远远超越了BCS理论的极限。高温超导的机制至今仍是凝聚态物理的核心难题之一。

学习目标： - 了解高温超导材料的发展历程 - 掌握铜氧化物超导体的结构特征 - 理解高温超导相图 - 了解高温超导机制的理论进展

24.2 1.3.1 高温超导材料

24.2.1 铜氧化物超导体

铜氧化物超导体是典型的高温超导体：

材料 \(T_c\) (K)
La2-xBaxCuO4 35
YBa2Cu3O7 (YBCO) 93
Bi2Sr2CaCu2O8 85
Tl2Ba2Ca2Cu3O10 125
HgBa2Ca2Cu3O8 133

24.2.2 铁基超导体

2008年发现的铁基超导体：

材料 \(T_c\) (K)
LaFeAsO 26
SmFeAsO 55
FeSe 8

24.3 1.3.2 铜氧化物的结构

24.3.1 晶体结构

铜氧化物超导体具有层状结构： - CuO2 面：导电层 - 载流子库层：提供载流子

24.3.2 空穴型 vs 电子型

  • 空穴型：如 La2-xSrxCuO4
  • 电子型：如 Nd2-xCexCuO4

24.4 1.3.3 高温超导相图

24.4.1 典型相图

            金属                 |
                               |
    超导Dome                  |
                               |
    伪能隙                    |
                               |
    反铁磁（AF）    ----------+--------> 掺杂

24.4.2 关键特征

  1. 反铁磁母化合物：未掺杂时是反铁磁绝缘体
  2. 超导Dome：最佳掺杂附近 \(T_c\) 最高
  3. 伪能隙：在欠掺杂区域存在能隙

24.5 1.3.4 高温超导机制

24.5.1 配对对称性

  • d波配对：对称性为 \(d_{x^2-y^2}\)
  • 实验支持：相位敏感实验

24.5.2 配对 glue

  • 声子：不适合（\(T_c\) 太高）
  • 反铁磁涨落：最可能的配对媒介
  • 其他理论：旋子、激子等

24.6 1.3.5 魔角石墨烯超导

24.6.1 发现

2018年，发现魔角石墨烯（魔角 \(\approx 1.1^\circ\)）表现出超导性。

24.6.2 特征

  • \(T_c \approx 1.7\) K
  • 与强关联物理相关
  • 类似铜氧化物相图

24.7 本章小结

概念 公式/描述 物理意义
铜氧化物 层状钙钛矿 高温超导体
相图 掺杂调控 Dome结构
d波配对 \(d_{x^2-y^2}\) 非常规配对
反铁磁涨落 配对 glue 可能的机制

25 C7 超导与强关联模块：1.4 二维超导

25.1 章节概述

二维超导是超导物理的重要研究方向。在低维系统中，量子涨落特别重要，会导致许多新奇的物理现象。本章将介绍二维超导的特殊性质，包括Berezinskii-Kosterlitz-Thouless (BKT) 相变、二维超导的实验实现、以及二维超导与拓扑的结合。

学习目标： - 理解BKT相变的物理机制 - 掌握二维超导的特殊性质 - 了解二维超导的实验进展

25.2 1.4.1 BKT相变

25.2.1 理论背景

BKT相变是二维XY模型特有的相变，由Berezinskii、Kosterlitz和Thouless在1973年提出。

25.2.2 相变特征

  • 涡旋-反涡旋激发：相变的驱动力
  • 准连续相变：不是普通的相变
  • 临界指数：不同于普通相变

25.2.3 相变温度

\[ T_{\text{BKT}} = \frac{\pi}{2} J \]

其中 \(J\) 是XY模型的交换积分。

25.3 1.4.2 二维超导的特殊性

25.3.1 尺寸效应

  • 超导相干长度 \(\xi\) 可与薄膜厚度相比
  • 满足二维条件：\(\xi > d\)

25.3.2 量子涨落

  • 振幅（相位）涨落增强
  • 可能抑制 \(T_c\)

25.4 1.4.3 二维超导材料

25.4.1 薄膜超导

  • 金属薄膜：厚度几纳米
  • 颗粒膜超导

25.4.2 界面超导

  • LaAlO3/SrTiO3 界面
  • 二维电子气超导

26 C7 超导与强关联模块：1.5 强关联系统

26.1 章节概述

强关联电子系统是当代凝聚态物理最重要、最活跃的研究领域之一。在这些系统中，电子-电子相互作用起着主导作用，导致了众多新奇的量子物态和物理现象。

学习目标： - 理解强关联电子系统的基本特征 - 掌握Mott相变的物理图像 - 了解量子临界点的概念

26.2 1.5.1 强关联电子系统概述

26.2.1 什么是强关联电子系统？

强关联电子系统是指电子-电子相互作用在决定系统基态和低能激发中起主导作用的材料。

26.2.2 强关联系统的共同特征

  1. 窄能带：d电子或f电子能带很窄
  2. 大有效质量：准粒子有效质量 \(m^* \gg m\)
  3. 强磁性：往往表现出铁磁或反铁磁有序

26.3 1.5.2 Mott相变

26.3.1 定义

Mott相变是指在强关联系统中，由于电子-电子相互作用导致的金属-绝缘体相变。

26.3.2 相变的驱动力

  • 动能（跳跃项 \(-t\)）：倾向于电子离域
  • 势能（Hubbard \(U\)）：倾向于电子局域

26.4 1.5.3 量子临界点

26.4.1 什么是量子临界点？

量子临界点（QCP）是指在绝对零度时，由量子涨落驱动的连续相变的终点。

26.4.2 特征

  1. 费米液体失效：电阻 \(\rho \propto T^n\)（\(n < 2\)）
  2. 发散的物理量

26.5 本章小结

概念 公式/描述 物理意义
强关联电子系统 \(U \gtrsim W\) 电子相互作用主导
Mott相变 金属 \(\leftrightarrow\) 绝缘体 \(U/W\) 调控
量子临界点 \(T = 0\) 连续相变 量子涨落驱动

26.6 参考资料

  • J. Bardeen, L. N. Cooper & J. R. Schrieffer, “Theory of Superconductivity”, Phys. Rev. (1957)
  • J. G. Bednorz & K. A. Müller, “Possible high Tc superconductivity in the Ba-La-Cu-O system”, Z. Phys. B (1986)
  • P. A. Lee, “Doping a Mott insulator: Physics of high-temperature superconductivity”, Rev. Mod. Phys. (2006)