12 测量与态坍缩
13 F2 量子力学基础：1.6 测量与态坍缩
13.1 章节概述
本节导航：本节我们将探讨量子力学中最具争议和最令人困惑的概念——测量和波函数坍缩。测量在量子力学中扮演着特殊的角色：它不仅仅是”观察”系统，而是主动”创造”系统的状态。这导致了著名的”薛定谔的猫”思想实验，以及至今仍在讨论的量子测量问题。
量子测量问题是量子力学诠释的核心。一个电子在测量之前处于叠加态；测量后，它”坍缩”到某个本征态。这个过程是如何发生的？为什么测量会导致波函数突变？这不仅是物理学问题，还涉及深刻的哲学问题。
学习目标： - 理解投影测量（冯·诺依曼测量） - 掌握波函数坍缩的数学描述 - 理解薛定谔的猫思想实验 - 了解量子测量的不同诠释
13.2 1.6.1 量子测量的本质
13.2.1 思考问题
问题 1：在经典力学中，测量不会改变系统的状态。为什么在量子力学中，测量会”改变”系统状态？
问题 2：测量之前电子的状态是”不确定的”还是”确定但未知”？
问题 3：如果对同一个量子态连续进行两次相同的测量，会得到什么结果？
13.2.2 经典 vs 量子测量
| 经典测量 | 量子测量 |
|---|---|
| 测量揭示客观状态 | 测量创造量子态 |
| 测量扰动可忽略 | 测量必然扰动系统 |
| 结果可重复 | 结果概率性 |
| 误差由仪器决定 | 不确定性是内在的 |
13.2.3 投影测量
量子测量可以用投影算符来描述。设测量物理量 \(\hat{A}\) 的本征态为 \(\{|a_n\rangle\}\)，对应的本征值为 \(\{a_n\}\)。
对于任意态：
\[|\psi\rangle = \sum_n c_n |a_n\rangle\]
测量 \(\hat{A}\) 时： - 得到结果 \(a_n\) 的概率：\(P(a_n) = |c_n|^2 = |\langle a_n|\psi\rangle|^2\) - 测量后态立即”坍缩”为：
\[|\psi\rangle \rightarrow |a_n\rangle\]
这个过程用数学表达为：
\[|\psi\rangle \rightarrow \frac{|a_n\rangle\langle a_n|\psi\rangle}{\sqrt{\langle\psi|a_n\rangle\langle a_n|\psi\rangle}}\]
13.2.4 测量后的状态
测量后，系统处于本征态 \(|a_n\rangle\)。如果立即再次测量 \(\hat{A}\)，将确定性地得到相同结果 \(a_n\)。
物理图像：骰子的比喻
量子测量就像掷一个隐形的骰子。在掷之前，骰子处于所有可能点数的”叠加态”；掷的过程中，骰子”坍缩”到一个具体的点数。但与普通骰子不同：量子骰子的每个面出现的概率由波函数（振幅的平方）决定，而且测量后骰子就不再是”叠加态”了。
13.3 1.6.2 波函数坍缩
13.3.1 冯·诺依曼测量模型
约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）在1932年提出了量子测量的两阶段模型：
阶段1（幺正演化）：测量仪器与被测系统相互作用，遵循薛定谔方程
\[|\psi\rangle \otimes |M_0\rangle \xrightarrow{U} \sum_n c_n |a_n\rangle \otimes |M_n\rangle\]
其中 \(|M_0\rangle\) 是测量仪器的初始态，\(|M_n\rangle\) 是对应结果 \(a_n\) 的仪器态。
阶段2（波函数坍缩）：观察者”看”到结果，态发生非幺正”坍缩”
\[\sum_n c_n |a_n\rangle \otimes |M_n\rangle \rightarrow |a_k\rangle \otimes |M_k\rangle\]
13.3.2 坍缩的物理含义
波函数坍缩意味着： - 测量前：系统处于多个本征态的叠加 - 测量后：系统”选择”一个本征态 - 这个”选择”是概率性的，概率为 \(|c_n|^2\)
13.3.3 坍缩的时间
测量何时发生？是测量仪器与系统相互作用时，还是观察者”看到”结果时？这涉及到量子测量诠释的争论。
物理图像：波斯与猫
想象一个量子系统（比如放射性原子）和一只猫。原子衰变会触发毒药瓶，毒死猫。在量子力学中，放射性原子在衰变和未衰变之间处于叠加态。那么，猫是否也处于”死”和”活”的叠加态？薛定谔问的正是这个问题。
13.4 1.6.3 薛定谔的猫
13.4.1 思想实验
薛定谔（Erwin Schrödinger）于1935年提出了这个著名思想实验：
一个封闭的盒子里有一只猫、一瓶毒药、一个放射性原子和一个盖革计数器。如果原子衰变（概率50%），盖革计数器会触发装置打破毒药瓶，猫就会死。
根据量子力学，在打开盒子之前： - 放射性原子处于”衰变”和”未衰变”的叠加态 - 因此，猫也处于”死”和”活”的叠加态？
13.4.2 问题的核心
薛定谔提出这个思想实验原本是为了质疑量子力学的诠释——如果量子叠加原理适用于宏观物体，那似乎会导致荒谬的结论。
13.4.3 可能的解释
哥本哈根诠释：在测量之前，系统的描述是不完整的；只有打开盒子（测量）后，波函数才”坍缩”。
多世界诠释：所有可能性都实现了，只是分布在不同的”分支”中——有一个世界里猫是活的，另一个世界里猫是死的。
退相干理论：宏观物体的叠加态由于与环境的相互作用而迅速”退相干”，在实际上表现为经典行为。
物理图像：打开盒子前
在打开盒子之前，我们不知道猫是死是活。这不是因为我们的知识有限，而是因为猫真的处于”不确定”的状态——不是”死或活”，而是”既死又活”。这不是修辞，而是量子力学的正式结论（取决于你接受的诠释）。
13.5 1.6.4 测量问题的不同诠释
13.5.1 哥本哈根诠释（主流）
- 波函数是对系统知识的描述，而非系统本身
- 测量导致波函数坍缩
- 测量是一个原语，不能进一步分析
- “存在”只对测量结果有意义
13.5.2 多世界诠释（Everett, 1957）
- 波函数从不坍缩
- 所有测量结果都在不同的”分支”中实现
- 观察者只是沿着一个分支”体验”
- 无需引入观察者或坍缩
13.5.3 导引（de Broglie-Bohm）
- 电子有确定的位置（隐变量）
- 波函数引导电子运动
- 非局域性是内在的
13.5.4 客观坍缩模型
- 坍缩是物理过程，与测量无关
- 坍缩是自发进行的（但概率极低）
- 需要修改薛定谔方程
13.5.5 量子贝叶斯主义（QBism）
- 波函数是观察者的主观信仰
- 坍缩是信仰的更新
- 量子概率是主观的
物理图像：选择你的诠释
量子测量问题至今没有共识。不同物理学家选择不同的诠释，这通常取决于他们的哲学偏好。重要的是：所有诠释在预测实验结果上是等价的。争论主要在于”意义”层面，而非数学或预测层面。
13.6 1.6.5 测量与量子信息
13.6.1 量子信息科学的兴起
20世纪80年代以来，量子测量问题与量子信息科学深度交叉：
- 量子计算：利用叠加和纠缠
- 量子密码：测量会扰动系统（不可克隆定理）
- 量子隐形传态：利用测量和经典通信
- 量子重复实验：量子非破坏性测量
13.6.2 量子非克隆定理
1982年，Wootters、Zurek 和 Dieks 证明：不可能复制一个未知的量子态。
\[|\psi\rangle \otimes |0\rangle \not\to |\psi\rangle \otimes |\psi\rangle\]
这与测量直接相关：如果我们可以完美测量并复制量子态，就可以克隆。但量子力学的测量本质阻止了这一点。
13.6.3 量子芝诺效应
“被观察的猫不会死”——量子芝诺效应表明：频繁测量可以”冻结”系统的演化。
如果对量子系统进行高频测量（每次测量后回到初始态），系统会停留在初始态，就像被”盯住”一样。
13.7 本章小结
测量导致坍缩：测量使系统从叠加态”坍缩”到某个本征态，概率由展开系数决定。
投影测量：\(|\psi\rangle \to |a_n\rangle\)，概率 \(P(a_n) = |\langle a_n|\psi\rangle|^2\)。
薛定谔的猫：宏观物体也可能处于叠加态，但退相干使宏观叠加态极不稳定。
多种诠释：哥本哈根、多世界、导引等诠释对测量问题有不同回答。
实用视角：无论诠释如何，量子力学的计算规则在实验上极其成功。
13.8 思考题
概念辨析：解释为什么”电子在测量前是确定但未知的”这一观点与量子力学的诠释不符。
计算题：如果在 \(x\) 方向自旋本征态 \(|+\rangle\) 中测量 \(z\) 方向自旋，得到 \(\uparrow\) 和 \(\downarrow\) 的概率各是多少？
思想实验：在双缝实验中，如果在缝处测量电子通过了哪条缝，干涉条纹消失。这与波函数坍缩有何关系？
量子芝诺效应：查阅资料，设计一个实验方案来演示量子芝诺效应。
哲学思考：你更倾向于哪种量子测量诠释？请解释理由。
13.9 参考资料
- von Neumann, J. (1932). “Mathematical Foundations of Quantum Mechanics”.
- Schrödinger, E. (1935). “Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik”. Naturwissenschaften.
- Wheeler, J. A., & Zurek, W. H. (1983). “Quantum Theory and Measurement”.