11 量子态与算符
12 F2 量子力学基础：1.5 量子态与算符
12.1 章节概述
本节导航：本节我们将学习量子力学的数学语言——狄拉克符号和算符。在量子力学中，物理量由算符表示，量子态是向量，而测量则是将态投影到算符的本征态上。掌握这套语言对于深入理解量子力学至关重要。
狄拉克（Paul Dirac）发明的这套符号系统不仅在数学上优雅，更深刻地揭示了量子力学的结构。本节将介绍这套语言的基本要素：态矢量、算符、本征值问题和期望值。
学习目标： - 掌握狄拉克符号（kets 和 bras） - 理解算符及其对易关系 - 掌握本征值问题的求解 - 理解期望值的计算方法
12.2 1.5.1 狄拉克符号
12.2.1 思考问题
问题 1：在经典力学中，我们用坐标和动量来描述系统的状态。在量子力学中，我们用什么来描述状态？
问题 2：狄拉克为什么要引入 ket 和 bra 这套符号？它比普通的函数表示有什么优势？
问题 3：为什么量子力学中的测量只能用算符来表示？
12.2.2 态矢量
在量子力学中，量子态被表示为一个抽象向量（态矢量），用狄拉克符号表示：
- Ket: \(|\psi\rangle\) ——列向量，表示”右矢”
- Bra: \(\langle\psi|\) ——行向量，表示”左矢”
这两个名字合起来是 bra-ket，即”括号”（bracket）。
12.2.3 内积
两个态矢量的内积定义为：
\[\langle\phi|\psi\rangle\]
这是一个复数，满足： - \(\langle\psi|\phi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle^*\) - \(\langle\psi|\psi\rangle \geq 0\)，等于零当且仅当 \(|\psi\rangle = 0\) - 归一化条件：\(\langle\psi|\psi\rangle = 1\)
12.2.4 正交展开
如果 \(\{|a_n\rangle\}\) 是一组正交归一基（\(\langle a_m|a_n\rangle = \delta_{mn}\)），那么任意态可以展开为：
\[|\psi\rangle = \sum_n c_n |a_n\rangle\]
其中展开系数 \(c_n = \langle a_n|\psi\rangle\)。
12.2.5 波函数的基展开
在位置表象中，如果我们取 \(\{|x\rangle\}\) 作为基，那么：
\[\psi(x) = \langle x|\psi\rangle\]
这正是波函数作为态矢量在位置基中的展开系数。
物理图像：态矢量是抽象的
态矢量 \(|\psi\rangle\) 是一个抽象的数学对象，它不依赖于我们选择什么基（坐标、动量、能量本征态等）。就像一个几何向量，它的长度（模）和方向是固定的，但当我们选择不同的坐标系时，它的坐标分量会改变。
12.3 1.5.2 算符
12.3.1 什么是算符？
算符是将一个态矢量映射到另一个态矢量的数学对象：
\[|\psi'\rangle = \hat{A}|\psi\rangle\]
算符用大写字母加帽子表示，如 \(\hat{x}\)、\(\hat{p}\)、\(\hat{H}\) 等。
12.3.2 基本算符
- 位置算符 \(\hat{x}\)：
- 作用：\(\hat{x}|x\rangle = x|x\rangle\)
- 本征值：\(x\)（连续）
- 本征态：\(|x\rangle\)（位置本征态）
- 动量算符 \(\hat{p}\)：
- 作用：\(\hat{p}|p\rangle = p|p\rangle\)
- 本征值：\(p\)（连续）
- 本征态：\(|p\rangle\)（动量本征态）
- 哈密顿算符 \(\hat{H}\)：
- 作用：\(\hat{H}|E_n\rangle = E_n|E_n\rangle\)
- 本征值：\(E_n\)（离散或连续）
- 本征态：\(|E_n\rangle\)（能量本征态）
12.3.3 线性算符
量子力学中的算符都是线性算符：
\[\hat{A}(c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle) = c_1\hat{A}|\psi_1\rangle + c_2\hat{A}|\psi_2\rangle\]
这与态叠加原理直接相关。
12.3.4 算符的矩阵表示
在选定的基中，算符可以表示为矩阵。例如，在 \(\{|a_1\rangle, |a_2\rangle\}\) 基中：
\[A_{mn} = \langle a_m|\hat{A}|a_n\rangle\]
物理图像：算符 = 操作
算符可以理解为对量子态的”操作”或”变换”：- \(\hat{x}\) 操作：把态”移动”到某个位置 - \(\hat{p}\) 操作：给态”增加”动量 - \(\hat{H}\) 操作：让态随时间演化
12.4 1.5.3 对易关系
12.4.1 对易子的定义
两个算符 \(\hat{A}\) 和 \(\hat{B}\) 的对易子定义为：
\[[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}\]
如果 \([\hat{A}, \hat{B}] = 0\)，则 \(\hat{A}\) 和 \(\hat{B}\) 对易，可以同时对角化。
12.4.2 基本对易关系
- 位置与动量：
\[[\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar\]
这是量子力学最基本的对易关系！它直接导致不确定性原理。
- 角动量分量：
\[[L_x, L_y] = i\hbar L_z\] \[[L_y, L_z] = i\hbar L_x\] \[[L_z, L_x] = i\hbar L_y\]
- 位置与自身：
\[[\hat{x}, \hat{x}] = 0\]
12.4.3 对易关系的物理意义
- 如果 \([\hat{A}, \hat{B}] = 0\)，则 \(\hat{A}\) 和 \(\hat{B}\) 可以同时测量（确定）
- 如果 \([\hat{A}, \hat{B}] \neq 0\)，则 \(\hat{A}\) 和 \(\hat{B}\) 不能同时确定，服从不确定性原理
物理图像：旋转的顺序很重要
想象旋转一本书：先绕 x 轴旋转 90°，再绕 y 轴旋转 90°，与先绕 y 轴再绕 x 轴的最终朝向不同。算符的乘法与此类似：\(\hat{A}\hat{B}\) 和 \(\hat{B}\hat{A}\) 一般不相等，对易子 \([\hat{A}, \hat{B}]\) 衡量了这种”顺序差异”。
12.5 1.5.4 本征值问题
12.5.1 本征方程
算符 \(\hat{A}\) 的本征方程为：
\[\hat{A}|a_n\rangle = a_n|a_n\rangle\]
其中： - \(a_n\) 是本征值 - \(|a_n\rangle\) 是对应的本征态
12.5.2 本征值问题的重要性
- 能量本征态：\(\hat{H}|E_n\rangle = E_n|E_n\rangle\)
- 位置本征态：\(\hat{x}|x\rangle = x|x\rangle\)
- 动量本征态：\(\hat{p}|p\rangle = p|p\rangle\)
12.5.3 本征值的性质
可观测性：可观测物理量的本征值必须是实数（厄米算符的本征值是实数）
完备性：本征态集合 \(\{|a_n\rangle\}\) 通常构成完备基，使得任意态可以展开
正交性：厄米算符的本征态对应不同本征值时正交
12.5.4 厄米算符
如果 \(\hat{A} = \hat{A}^\dagger\)（自伴随），则 \(\hat{A}\) 是厄米算符。厄米算符的本征值必为实数，对应可观测物理量。
12.6 1.5.5 期望值
12.6.1 期望值的定义
在态 \(|\psi\rangle\) 中测量物理量 \(\hat{A}\)，平均结果（期望值）为：
\[\langle A \rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle\]
如果态未归一化，需要先除以归一化因子。
12.6.2 期望值的计算步骤
- 确保态已归一化：\(\langle\psi|\psi\rangle = 1\)
- 计算 \(\langle A \rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle\)
- 实数结果的验证（厄米算符的期望值必为实数）
12.6.3 期望值与概率
如果 \(\hat{A}\) 的本征态为 \(\{|a_n\rangle\}\)，态可以展开为：
\[|\psi\rangle = \sum_n c_n |a_n\rangle\]
测量得到 \(a_n\) 的概率为 \(|c_n|^2 = |\langle a_n|\psi\rangle|^2\)，期望值为：
\[\langle A \rangle = \sum_n |c_n|^2 a_n\]
12.6.4 方差与不确定度
\[\Delta A = \sqrt{\langle A^2 \rangle - \langle A \rangle^2}\]
这正是我们在不确定性原理中使用的定义。
物理图像：期望值 vs 单次测量
期望值是大量测量的统计平均，不代表单次测量的结果。就像掷骰子：期望值是 3.5，但任何单次掷骰子都不会得到 3.5。量子测量同样如此：单次测量得到某个本征值，多次测量的平均趋向期望值。
12.7 本章小结
狄拉克符号：\(|\psi\rangle\) 表示态矢量，\(\langle\psi|\) 表示其对偶，\(\langle\phi|\psi\rangle\) 表示内积。
算符：将态矢量映射到态矢量的线性操作，如 \(\hat{x}\)、\(\hat{p}\)、\(\hat{H}\)。
对易关系：\([\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar\) 是量子力学的基本对易关系。
本征值问题：\(\hat{A}|a\rangle = a|a\rangle\)，本征值对应可观测量的可能值。
期望值：\(\langle A \rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle\) 是在态 \(|\psi\rangle\) 中测量 \(\hat{A}\) 的统计平均。
12.8 思考题
计算题：计算在基态 \(\psi(x) = \sqrt{2/a}\sin(\pi x/a)\)（无限势阱）中，位置算符 \(\hat{x}\) 的期望值。
对易关系：证明 \([\hat{x}^2, \hat{p}] = 2i\hbar\hat{x}\)。
本征值问题：求和谐振子能量本征态相关的产生和湮灭算符的本征值。
期望值：如果在位置本征态 \(|x_0\rangle\) 中测量位置 \(x\)，期望值和不确定度各是多少？
拓展思考：查阅资料，了解密度矩阵如何描述混合态，并与纯态的态矢量描述进行对比。
12.9 参考资料
- Dirac, P. A. M. (1930). “Principles of Quantum Mechanics”.
- Sakurai, J. J., & Napolitano, J. (2017). “Modern Quantum Mechanics”.
- Shankar, R. (2012). “Principles of Quantum Mechanics”.