9 不确定性原理
10 F2 量子力学基础：1.3 不确定性原理
10.1 章节概述
本节导航：本节我们将探讨量子力学最著名也最令人困惑的原理之一——海森堡不确定性原理。它告诉我们：粒子的位置和动量不能同时被精确确定。这不是测量技术的限制，而是自然界的基本性质。
不确定性原理是量子力学与经典力学最显著的区别之一。它不是关于”我们不知道什么”的陈述，而是关于”自然界允许什么”的陈述。即使拥有完美的仪器和完全的信息，我们也无法同时精确知道一个粒子的位置和动量。
学习目标： - 理解海森堡不确定性原理的数学表述 - 从高斯波包理解不确定性的起源 - 掌握不确定性原理的推导 - 理解测量与扰动的哲学含义
10.2 1.3.1 不确定性原理的表述
10.2.1 思考问题
问题 1：在经典力学中，我们可以同时精确知道一个粒子的位置和动量。为什么在量子力学中这成为不可能？
问题 2：不确定性原理 \(\Delta x \Delta p \geq \hbar/2\) 中的 \(\Delta x\) 和 \(\Delta p\) 的含义是什么？它们是测量误差还是别的什么？
问题 3：如果我尝试测量一个电子的位置，测量会对电子的动量产生什么样的影响？
10.2.2 海森堡不确定性原理
1927年，维尔纳·海森堡（Werner Heisenberg）提出了著名的不确定性原理：
\[\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\]
其中： - \(\Delta x\) 是位置 \(x\) 的不确定度 - \(\Delta p\) 是动量 \(p\) 的不确定度 - \(\hbar = h / 2\pi \approx 1.055 \times 10^{-34}\) J·s
10.2.3 不确定度的定义
在量子力学中，不确定度通常定义为标准差：
\[\Delta A = \sqrt{\langle A^2 \rangle - \langle A \rangle^2}\]
其中 \(\langle A \rangle\) 是算符 \(A\) 的期望值。
10.2.4 常见的不确定性关系
除了位置-动量不确定性，还有其他重要的对易关系：
- 能量-时间不确定性：
\[\Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}\]
注意：这里的 \(\Delta t\) 不是测量时间，而是系统的特征时间尺度（如状态寿命）。
- 角动量分量之间的不确定性：
\[[L_x, L_y] = i\hbar L_z\]
因此：
\[\Delta L_x \cdot \Delta L_y \geq \frac{\hbar}{2} |\langle L_z\rangle|\]
10.2.5 物理意义
不确定性原理告诉我们： - 不可能同时精确确定粒子的位置和动量 - 这不是测量技术的限制，而是量子力学的内在性质 - 当一个量越精确，另一个量就越不确定
物理图像：波包的局限
想象一个正在振动的量子粒子。它的波函数像一团云，这团云在空间中有一定的展开范围。当我们尝试把这团云压缩到更小的空间（确定位置）时，云中包含的各种”动量成分”会增加——这是波函数的内在性质，不是我们”测量”造成的。
就像一首交响乐不能同时是只有一个音符的独奏，一个量子态也不能同时在位置和动量上都很”纯粹”。
类比的局限性：这个类比帮助我们理解波包的物理图像，但需要注意：真实的量子不确定性比这个类比更深刻——它不是波包”展开”或”收缩”的问题，而是量子态本身就无法同时具有确定的位置和动量。
10.3 1.3.2 从高斯波包理解不确定性
10.3.1 高斯波包
最简单同时又最重要的波函数形式之一是高斯波包：
\[\psi(x) = \frac{1}{(\pi \sigma^2)^{1/4}} e^{-x^2/(2\sigma^2)} e^{i p_0 x / \hbar}\]
其中 \(\sigma\) 是高斯分布的宽度，\(p_0\) 是波包的中心动量。
10.3.2 位置不确定度
高斯波包的位置概率分布为：
\[|\psi(x)|^2 = \frac{1}{\sqrt{\pi} \sigma} e^{-x^2/\sigma^2}\]
这是一个标准差为 \(\sigma\) 的高斯分布，因此：
\[\Delta x = \sigma\]
10.3.3 动量空间
为了计算动量不确定度，我们需要波函数在动量空间的表示。通过傅里叶变换，高斯波包变换为：
\[\phi(p) = \frac{1}{(\pi \hbar^2/\sigma^2)^{1/4}} e^{-(p-p_0)^2 \sigma^2 / (2\hbar^2)}\]
动量分布也是高斯形式，其宽度为：
\[\Delta p = \frac{\hbar}{2\sigma}\]
10.3.4 最小不确定度态
对于高斯波包，我们有：
\[\Delta x \cdot \Delta p = \sigma \cdot \frac{\hbar}{2\sigma} = \frac{\hbar}{2}\]
这恰好等于不确定性原理的下界！因此，高斯波包是最小不确定度态——它达到了理论极限。
10.3.5 不确定性的物理起源
从数学上看，不确定性原理源于傅里叶变换的性质：一个函数与其傅里叶变换不能同时高度局域化。
从物理上看，这是因为： - 位置越确定（波包越窄） - 动量分布越宽（傅里叶变换的性质） - 反之亦然
物理图像：琴弦的振动
想象一根琴弦：当你用手指”定点”拨动琴弦时（位置较确定），琴弦的振动模式非常丰富，包含许多不同波数的驻波（动量/波长不确定）；当琴弦以单一模式振动时（动量/波长确定），整个琴弦都在振动（位置不确定）。这个类比可以帮助理解”不能同时确定位置和动量”的含义。
10.4 1.3.3 不确定性原理的推导
10.4.1 对易子与不确定性
不确定性原理可以从量子力学的基本对易关系推导出来。
对于两个可观测量 \(A\) 和 \(B\)，定义对易子：
\[[A, B] = AB - BA\]
如果 \([A, B] \neq 0\)，则 \(A\) 和 \(B\) 不能同时精确测量。
10.4.2 Robertson-Schrödinger 不等式
对于任意量子态，不确定性原理的更一般形式是：
\[\Delta A \cdot \Delta B \geq \frac{1}{2} |\langle [A, B] \rangle|\]
当取 \(A = x\), \(B = p\) 时，\([x, p] = i\hbar\)，我们得到：
\[\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\]
10.4.3 推导过程
为了更清晰地展示不确定性原理的推导过程，我们详细说明每一步：
第一步：定义偏差算符
设 \(\hat{A}\) 和 \(\hat{B}\) 是两个可观测量，定义偏差算符： \[\Delta \hat{A} = \hat{A} - \langle A \rangle, \quad \Delta \hat{B} = \hat{B} - \langle B \rangle\]
第二步：应用柯西-施瓦茨不等式
将 \(|\psi\rangle\) 分拆为 \(|\Delta A\psi\rangle\) 和 \(|\Delta B\psi\rangle\) 两部分： \[\langle (\Delta A)^2 \rangle \langle (\Delta B)^2 \rangle \geq |\langle \Delta A \Delta B \rangle|^2\]
第三步：分离实部和虚部
将乘积 \(\Delta A \Delta B\) 分解为对称和反对称部分： \[\Delta A \Delta B = \frac{1}{2}[\Delta A, \Delta B] + \frac{1}{2}\{\Delta A, \Delta B\}\]
其中 \([A, B] = AB - BA\) 是对易子，\(\{A, B\} = AB + BA\) 是反对易子。
因此： \[|\langle \Delta A \Delta B \rangle|^2 = \frac{1}{4}|\langle [A, B] \rangle|^2 + \frac{1}{4}|\langle \{A, B\}\rangle - 2\langle A\rangle\langle B\rangle|^2\]
第四步：取下界
第二项是非负的，因此可以忽略它来得到下界： \[|\langle \Delta A \Delta B \rangle|^2 \geq \frac{1}{4}|\langle [A, B] \rangle|^2\]
结合第二步，得到Robertson-Schrödinger不等式： \[\Delta A \cdot \Delta B \geq \frac{1}{2}|\langle [A, B] \rangle|\]
特例：位置-动量
对于位置算符 \(\hat{x}\) 和动量算符 \(\hat{p}\)，基本对易关系为： \[[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar\]
代入得到： \[\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\]
10.5 1.3.4 测量与扰动
10.5.1 测量导致的扰动
海森堡最初用测量来解释不确定性原理：要测量电子的位置，需要用光子照射电子。光子的动量会传递给电子，因此测量位置越精确（需要短波长光子），对动量的扰动越大。
10.5.2 ⚠️ 重要澄清：这不是根本原因
关键点：不确定性原理并不是因为”测量会扰动系统”！
即使进行完美的、扰动最小的”理想测量”，不确定性原理仍然存在。这是因为：
不确定性是量子态的内在性质：在测量之前，粒子就没有同时确定的位置和动量。不确定性原理描述的是”自然界允许什么”，而不是”我们能测量什么”。
测量揭示而非创造：测量不是”扰动”了系统，而是从一开始系统就没有同时确定的位置和动量。
数学上的必然性：不确定性原理直接来自对易关系 \([x, p] = i\hbar\)，这是量子力学的基本结构，与任何测量过程无关。
物理图像：波函数”不确定” vs “未知”
经典物理中，一个粒子有确定的位置和动量，但我们可能”不知道”它们——这只是知识上的缺乏。
量子物理中，粒子在测量前就没有确定的位置和动量——这是客观事实，不是我们知识上的缺陷。
这两者有本质区别：如果是”未知”，理论上我们可以知道更多信息；如果是”不确定”，自然界本身就不允许同时确定。
10.5.3 量子力学的本体论 vs 认识论
| 经典力学（本体论） | 量子力学（本体论） |
|---|---|
| 粒子有确定的位置和动量 | 粒子没有同时确定的位置和动量 |
| 测量揭示客观存在 | 测量揭示量子态的概率性质 |
| 决定论 | 本征概率性 |
10.5.4 量子力学的本体论 vs 认识论
| 经典力学（本体论） | 量子力学（本体论） |
|---|---|
| 粒子有确定的位置和动量 | 粒子没有同时确定的位置和动量 |
| 测量揭示客观存在 | 测量创造量子态 |
量子不确定性不是”我们不知道”，而是”自然界不允许”。
物理图像：单电子双缝实验的再思考
在双缝实验中，如果我们试图确定电子通过了哪条缝（测量位置），我们必须与电子发生某种相互作用（例如在缝处放置探测器）。这种相互作用会改变电子的动量分布，导致干涉图样消失。这不是”测量扰动了系统”——而是测量让我们获得路径信息的同时，失去了相干性。
10.6 1.3.5 不确定性原理的意义
10.6.1 对经典决定论的冲击
经典力学是决定论的：给定初始条件，未来是唯一确定的。
量子力学引入了根本的不确定性：即使知道波函数，我们也不能预测单次测量的结果，只能预测概率。
10.6.2 穿透势垒：量子隧穿
不确定性原理的一个直接后果是量子隧穿。由于粒子动量的不确定性，它有一定概率出现在经典力学不允许的区域（例如穿透薄壁）。
这解释了： - 原子核的α衰变 - 扫描隧道显微镜（STM）的工作原理 - 半导体中的隧穿二极管
10.6.3 零点能
不确定性原理还意味着粒子不能完全静止。例如，氢原子中的电子不能”掉进”原子核，因为那样位置就完全确定了，动量不确定度会无穷大，导致巨大的动能。
这产生了零点能——即使在基态，粒子也有非零的最小能量。
物理图像：量子隧穿
想象一个球要翻过一座小山。在经典物理学中，如果球没有足够的能量（动能 < 势能），它永远不可能到达山顶的另一侧。
但在量子力学中，由于位置和动量的不确定性，粒子有一定概率”穿透”势垒——即使它的能量低于势垒高度。
这不是粒子”挖了一条隧道”钻过去，而是因为粒子的波函数在经典禁止区域并不为零（是指数衰减而非突然消失）。波函数延伸到势垒另一侧，意味着在那里找到粒子的概率不为零。
这就是量子隧穿效应，它使得： - 原子核α衰变成为可能 - 扫描隧道显微镜（STM）能够工作 - 半导体隧穿二极管得以应用
10.7 本章小结
不确定性原理：\(\Delta x \cdot \Delta p \geq \hbar/2\)，这是自然界的基本限制，不是测量技术的限制。
高斯波包：是最小不确定度态，达到 \(\Delta x \cdot \Delta p = \hbar/2\) 的理论极限。
数学推导：不确定性原理源于波函数的数学性质（傅里叶变换）和对易关系 \([x, p] = i\hbar\)。
物理后果：量子隧穿、零点能等量子现象都根源于不确定性原理。
哲学意义：量子力学颠覆了经典决定论，引入了根本的概率性。
10.8 思考题
计算题：设电子被束缚在原子尺度（\(\Delta x \approx 0.1\) nm），求动量的不确定度。
概念辨析：解释”不确定性原理是测量扰动导致的”这一常见误解为什么不正确。
实验设计：设计一个实验来验证能量-时间不确定性关系 \(\Delta E \cdot \Delta t \geq \hbar/2\)。
量子隧穿：如果一个电子的能量低于势垒高度，但它仍有一定概率穿透势垒，这与不确定性原理有何关系？
拓展思考：查阅资料，了解”压缩态”（squeezed state）如何在某些量子系统中突破标准量子极限，但仍然满足不确定性原理。
10.9 参考资料
- Heisenberg, W. (1927). “Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik”. Zeitschrift für Physik.
- Kennard, E. H. (1927). “Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen”. Zeitschrift für Physik.
- Sakurai, J. J., & Napolitano, J. (2017). “Modern Quantum Mechanics”.