6 F1 基础模块：1.5 光学基础
6.1 章节概述
光学是物理学中发展最为完善的分支之一。本章将介绍波动光学的基础知识，重点讨论光的干涉和衍射现象。这些现象充分体现了光的波动性，是理解现代光学仪器和量子力学的重要基础。
学习目标： - 理解光的干涉条件 - 掌握双缝干涉和薄膜干涉的原理 - 理解衍射现象和衍射规律 - 掌握光学仪器的分辨本领
6.2 1.5.1 光的波动性
6.2.1 引导问题
为什么彩虹是七色的？ 雨后空气中悬浮的水滴如同微型棱镜，将白色的太阳光分解为不同颜色的成分。这揭示了光的一个基本性质——光的波长决定了颜色。
6.2.2 光学发展简史
- 微粒说： 牛顿认为光是由微粒组成的
- 波动说： 惠更斯提出光是一种波动
- 电磁理论： 麦克斯韦证明光是一种电磁波
- 光子说： 爱因斯坦提出光的波粒二象性
与电磁学贯通： 麦克斯韦方程组揭示了一个深刻的事实——变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场，这种相互激发在空间中以光速传播。1865年，麦克斯韦预言电磁波的存在，并计算出其速度 \(c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}\)，恰好等于已知的光速。这一理论统一了光学与电磁学，意义堪比牛顿力学。
6.2.3 可见光
可见光是电磁波谱中波长约在 400-700 nm 的部分：
| 颜色 | 波长范围 |
|---|---|
| 紫 | 380-450 nm |
| 蓝 | 450-495 nm |
| 绿 | 495-570 nm |
| 黄 | 570-590 nm |
| 橙 | 590-620 nm |
| 红 | 620-750 nm |
物理图像： 可见光波长范围仅约 300 nm（不到一根头发丝的千分之一），频率高达 \(10^{14}\) Hz 量级。如此微小的尺度使得光的波动性在日常经验中并不直观——我们”看不见”光波，但通过干涉和衍射实验可以清晰地”听见”它的波动”声音”。这如同我们看不见空气分子，但可以通过风来感知它的流动。
与量子力学贯通： 本章讨论的光的波动性是理解波粒二象性的基础。后续量子力学中，光被描述为同时具有波动和粒子（光子）两种属性。1905年爱因斯坦用光电效应证明了这一点，而杨氏双缝实验的量子版本（单光子双缝实验）更是揭示了微观世界最深层的奥秘——粒子可以同时走两条路径（详见后续量子力学章节）。
6.3 1.5.2 光的干涉
6.3.1 引导问题
为什么两盏灯的光不会产生稳定的干涉条纹？ 日常光源（如日光灯、LED）发出的光波是随机相位的——每一时刻的相位都在无规则变化。两束这样的光叠加时，明暗变化极其快速（\(10^{14}\) Hz），人眼或探测器只能捕捉到平均强度，看不到稳定图案。这就像两个各自乱叫的人，无法形成稳定的”和声”。
6.3.2 干涉条件
产生稳定干涉图案的条件：
- 频率相同： 两束光必须有相同的频率
- 相位差恒定： 两束光必须有恒定的相位差（相干光）
- 振动方向相同： поляризация 相同或存在相同分量
物理图像（类比水波）： 想象平静湖面上两处同时产生涟漪。当两波相遇时，水面会呈现规则的”干涉图样”——有些地方波浪相互加强（相长干涉），有些地方相互抵消（相消干涉）。光的干涉本质上完全相同，只是发生在更微观的尺度。光波是电磁场的振动，正如水波是水面的振动。
6.3.3 相干光源
杨氏双缝实验是最经典的光干涉实验。通过分割波前的方法，从单一光源获得两束相干光。
历史注记： 1801年，托马斯·杨用双缝实验首次向世人展示了光的干涉现象，一举推翻了牛顿的微粒说。这一实验的”简单”设计蕴含着深刻的物理洞察——杨从水波的干涉类比中获得了灵感。
6.3.4 双缝干涉
6.3.4.1 引导问题
为什么月光从指缝间透过会模糊？ 这正是光的衍射效应——当光通过狭窄缝隙时，会”绕射”到几何阴影区域。双缝干涉中，每条缝本身就是一个”衍射孔”，所以实际观察到的图案是干涉与衍射的共同结果。
6.3.4.2 明暗纹条件
设双缝间距为 \(d\)，缝到屏幕距离为 \(L\)，且 \(L \gg d\)。
数学推导： 在远场条件下（\(L \gg d\)），两条光线的光程差可近似为： \[\Delta = r_2 - r_1 \approx d\sin\theta\] 其中 \(\theta\) 是观察方向与中垂线的夹角。当 \(\theta\) 很小时，\(\sin\theta \approx \tan\theta = y/L\)，因此 \[\Delta \approx d \cdot \frac{y}{L}\] 这就是公式 \(\Delta = d\sin\theta \approx d \frac{y}{L}\) 的几何来源。
光程差： \[ \Delta = d\sin\theta \approx d \frac{y}{L} \]
其中 \(y\) 是屏幕上干涉条纹到中央明纹的距离。
明纹条件（相长干涉）： \[ d\sin\theta = m\lambda \quad (m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots) \]
暗纹条件（相消干涉）： \[ d\sin\theta = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots) \]
6.3.4.3 条纹间距
相邻明纹（或暗纹）之间的间距：
\[ \Delta y = y_{m+1} - y_m = \frac{\lambda L}{d} \]
条纹间距与波长 \(\lambda\) 和缝到屏幕距离 \(L\) 成正比，与缝距 \(d\) 成反比。
适用条件： 此公式在远场条件（\(L \gg d\)，即 \(d^2 \ll \lambda L\)）下成立。在近场区域，干涉条纹不再是等间距的直线。
6.3.4.4 干涉强度分布
双缝干涉的强度分布：
\[ I = I_0 \cos^2\left(\frac{\pi d \sin\theta}{\lambda}\right) \]
数学推导： 设有两束相干光，电场可表示为 \(E_1 = E_0 e^{i\omega t}\) 和 \(E_2 = E_0 e^{i(\omega t + \phi)}\)，其中 \(\phi = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta\) 是相位差。合成场为 \(E = E_1 + E_2\)，强度 \(I \propto |E|^2\)： \[I \propto |E_0 e^{i\omega t} + E_0 e^{i(\omega t + \phi)}|^2 = 4E_0^2 \cos^2\frac{\phi}{2}\] 代入 \(\phi = \frac{2\pi d \sin\theta}{\lambda}\)，即得上式。注意：此推导假设两束光强度相等，且忽略了偏振的影响。
注意：实际干涉条纹还受到单缝衍射的调制（详见后续章节）。
与量子力学贯通（单光子双缝实验）： 当光源减弱到逐个光子发射时，积累足够多的光子仍会出现干涉条纹。这意味着每个光子似乎同时通过了两条缝！这是波粒二象性的核心体现，也是量子力学最令人困惑的现象之一。
6.4 1.5.3 薄膜干涉
6.4.1 引导问题
为什么肥皂泡或油膜表面呈现彩色条纹？ 薄膜的前后表面反射光发生干涉。不同波长的光因波长不同，有的加强有的减弱，形成色彩斑斓的图案。这与彩虹的原理本质相同，只是发生在更薄的尺度（约几百纳米）。
6.4.2 薄膜干涉原理
光照射到薄膜上时，在薄膜的上表面和下表面分别反射，两束反射光发生干涉。
物理图像（类比）： 想象向平静的池塘投掷石块，产生的涟漪遇到另一块石头反射回来，两列波相遇形成干涉。薄膜干涉正是如此——光线在薄膜的”上下界面”分别反射，然后重新相遇。关键在于光程差决定了干涉的结果。
6.4.3 透射光干涉
考虑折射率为 \(n\)、厚度为 \(e\) 的薄膜。
光程差（考虑半波损失）： \[ \Delta = 2n e \cos r + \frac{\lambda}{2} \]
其中 \(r\) 是折射角，第二项是半波损失。
半波损失详解： 当光从低折射率介质（如空气，\(n \approx 1\)）射向高折射率介质（如玻璃，\(n \approx 1.5\)）时，反射光会经历 \(\pi\) 的相位突变（相当于损失半个波长）。反之则无半波损失。具体判断：\(n_1 < n_2\) 时反射有半波损失，\(n_1 > n_2\) 时无半波损失。
适用条件： 上述公式适用于垂直入射或近垂直入射的情况。当入射角较大时，需要使用更一般的公式 \(\Delta = 2n e \sqrt{1 - \frac{\sin^2 i}{n^2}}\)，其中 \(i\) 为入射角。
明纹条件： \[ 2n e \cos r = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \ldots) \]
暗纹条件： \[ 2n e \cos r = m\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \ldots) \]
6.4.4 薄膜干涉的应用
- 增透膜： 照相机镜头镀膜（厚度为 \(\lambda/4\)）
- 增反膜： 激光器反射镜
- 干涉滤光片： 选择特定波长的光
- 牛顿环： 测量透镜曲率或光波波长
6.5 1.5.4 光的衍射
6.5.1 引导问题
为什么月光看起来比阳光模糊？ 月光穿过大气层时，大气中的微粒和湍流使光波发生衍射——光”绕”过了大气中的障碍物。而阳光因强度极高，衍射效应相对不那么明显。更日常的例子：我们能”绕过墙角”听到墙角后面的人说话（声波衍射，波长约1米），却不能”绕过墙角”看到墙角后面的人——可见光波长约500纳米，太小了！
6.5.2 衍射现象
光在传播过程中遇到障碍物或孔径时，会偏离直线传播路径的现象。
物理图像（类比水波）： 当水波遇到有孔的障碍物时，波会从孔的边缘向”阴影”区域传播。光的衍射完全相同——光不仅是沿直线传播，它会”试探”每一个可能的路径。法国物理学家菲涅尔基于这一思想，建立了完整的衍射理论。
6.5.3 衍射分类
| 类型 | 特点 |
|---|---|
| 菲涅尔衍射 | 近场衍射，波前为球面波 |
| 夫琅禾费衍射 | 远场衍射，波前为平面波 |
6.5.4 单缝衍射
6.5.4.1 衍射强度分布
设单缝宽度为 \(a\)，屏幕距离为 \(L\)。
暗纹条件： \[ a\sin\theta = m\lambda \quad (m = \pm 1, \pm 2, \ldots) \]
明纹条件（近似）： \[ a\sin\theta = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m = \pm 1, \pm 2, \ldots) \]
中央明纹： - 角度范围：\(-\lambda/a < \sin\theta < \lambda/a\) - 宽度：\(\Delta y = 2\lambda L / a\)
6.5.4.2 强度公式
单缝衍射的强度分布：
\[ I = I_0 \left[\frac{\sin(\beta)}{\beta}\right]^2 \]
其中 \(\beta = \frac{\pi a \sin\theta}{\lambda}\)。
\(\frac{\sin\beta}{\beta}\) 称为** sinc 函数**，记作 \(\text{sinc}(\beta)\)。
数学推导： 将单缝视为大量宽度为 \(dx\) 的相干子源的集合。根据惠更斯原理，每个子源发出球面波，屏幕上某点的总振幅是所有子波的相干叠加。对于远场（夫琅禾费）衍射，这一叠加化为积分： \[E(\theta) = \int_{-a/2}^{a/2} E_0 e^{ikx\sin\theta} dx = E_0 a \frac{\sin(\beta)}{\beta}\] 其中 \(k = 2\pi/\lambda\)，\(\beta = \frac{\pi a \sin\theta}{\lambda}\)。强度 \(I \propto |E|^2\)，即得上式。
适用条件： 上述公式适用于夫琅禾费衍射（远场条件，\(L \gg a^2/\lambda\)）。近场菲涅尔衍射需要更复杂的积分。
6.6 1.5.5 衍射与干涉的结合
6.6.1 引导问题
为什么双缝干涉的条纹中间亮两边暗？ 这正是干涉与衍射共同作用的结果！每条缝本身是一个”衍射孔”，发出的光有一个基本的衍射包络（单缝衍射图样）；两条缝的光相互干涉，形成细密的条纹。最终图案是”干涉条纹”乘以”衍射包络”——正如公式 \(I = I_{\text{干涉}} \cdot I_{\text{衍射}}\) 所示。
6.6.2 双缝衍射
实际的杨氏双缝干涉图案是双缝干涉和单缝衍射的叠加：
\[ I = I_{\text{干涉}} \cdot I_{\text{衍射}} = I_0 \left[\frac{\sin(\beta)}{\beta}\right]^2 \cos^2\left(\frac{\delta}{2}\right) \]
其中 \(\beta = \frac{\pi a \sin\theta}{\lambda}\)，\(\delta = \frac{2\pi d \sin\theta}{\lambda}\)。
6.6.3 衍射光栅
光栅是由大量等间距的狭缝组成的光学元件。
光栅方程： \[ d\sin\theta = m\lambda \quad (m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots) \]
其中 \(d\) 是光栅常数（缝间距）。
特点： - 主极大明锐（分辨本领高） - 可用于光谱分析
6.7 1.5.6 光学仪器的分辨本领
6.7.1 引导问题
为什么哈勃望远镜能看清更远的星星？ 这涉及到光学仪器的分辨本领——仪器区分两个靠近物体的能力。更大的望远镜（更大的\(D\)）能收集更多光，也有更小的分辨角。这意味着它能”看”到更细微的细节。
6.7.2 瑞利判据
两个点光源（或其他分辨对象）刚刚能够被分辨的条件是：一个点光源的艾里斑中心恰好落在另一个点光源的艾里斑的第一个暗环上。
艾里斑的形成： 望远镜或显微镜可近似看作一个圆孔光阑。根据巴比涅原理，圆孔衍射的中央亮斑（艾里斑）的第一级暗环位置满足 \(a\sin\theta = 1.22\lambda\)（\(a\) 为圆孔直径）。
6.7.3 望远镜的分辨极限
最小可分辨角度： \[ \theta_{\min} = 1.22 \frac{\lambda}{D} \]
其中 \(D\) 是望远镜物镜的直径。
数学推导： 对于直径为 \(D\) 的圆孔，第一级暗环对应 \(\sin\theta = 1.22\lambda/D\)。瑞利判据规定：两点的像刚刚能分辨时，其中一个的艾里斑中心恰好落在另一个的第一级暗环上。因此最小分辨角即为此 \(\theta\) 值。
工程意义： 此公式揭示了一个重要的权衡——想要更高的分辨本领（更小的 \(\theta_{\min}\)），要么使用更短波长 \(\lambda\)（如紫外/电子显微镜），要么增大口径 \(D\)。这也是为什么射电望远镜需要直径巨大的天线。
6.7.4 显微镜的分辨极限
光学显微镜的分辨极限约为： \[ d_{\min} = \frac{0.61\lambda}{n \sin u} \]
其中 \(n\) 是介质折射率，\(u\) 是半孔径角，\(n\sin u\) 称为数值孔径（NA）。
6.8 1.5.7 偏振
6.8.1 引导问题
为什么偏振太阳镜能减少眩光？ 反射光（如水面、路面反射的阳光）往往是部分偏振的——特定方向的振动被增强。偏振太阳镜就像一个”光的栅栏”，只允许特定方向的光通过，阻挡了眩光。这与电磁学中电场矢量的振动方向密切相关——光是横波，电场方向就是偏振方向。
6.8.2 偏振现象
光是横波，电场矢量的振动方向具有特定性。
物理图像（类比绳波）： 想象一根水平绳子穿过一个竖直缝隙（“偏振片”）。当上下抖动绳子（竖直偏振）时，波能通过缝隙；如果左右抖动（水平偏振），波会被挡住。光的偏振完全类似——电磁波是”绳子”，偏振片是”缝隙”，只允许特定振动方向的光通过。
6.8.3 偏振类型
| 类型 | 特点 |
|---|---|
| 自然光 | 各方向振动均等 |
| 线偏振光 | 振动方向固定 |
| 圆偏振 | 电场矢量旋转 |
| 椭圆偏振 | 电场矢量旋转且振幅变化 |
6.8.4 马吕斯定律
线偏振光通过偏振片后的强度： \[ I = I_0 \cos^2\theta \]
其中 \(\theta\) 是入射偏振光振动方向与偏振片透振方向之间的夹角。
数学推导： 将入射光电场分解为两个分量：\(E_{\parallel} = E_0 \cos\theta\)（平行于透振方向）和 \(E_{\perp} = E_0 \sin\theta\)（垂直于透振方向）。偏振片只透过 \(E_{\parallel}\) 分量，强度 \(I \propto |E|^2\)，故： \[I = I_0 \frac{|E_{\parallel}|^2}{|E_0|^2} = I_0 \cos^2\theta\]
特殊情形： 当 \(\theta = 90^\circ\) 时，\(I = 0\)（消光）；当 \(\theta = 0^\circ\) 或 \(180^\circ\) 时，\(I = I_0\)（最大透过）。
6.8.5 偏振的应用
- 3D 电影
- 液晶显示器
- 应力分析
- 光学滤波
6.9 1.5.8 光学技术的现代发展
6.9.1 引导问题
激光与普通光有什么不同？ 普通光源（如灯泡）发出的是”各自为政”的光子，相位随机；激光则是高度”有序”的——大量光子步调一致（相干），这源于量子力学的受激辐射原理。
6.9.2 激光
激光具有单色性好、方向性强、相干性高的特点，广泛应用于科研、工业、医疗等领域。
与量子力学贯通： 激光的物理基础是受激辐射（爱因斯坦1917年提出）。在量子力学框架下，原子处于激发态时，特定能量的光子可以”刺激”原子发射另一个与之完全相同的光子（相同频率、相位、偏振、方向）。这解释了激光的高度相干性——每一个新光子都是原光子的”克隆”。这一过程是量子力学的直接应用，也是光与物质相互作用的基石。
6.9.3 全息术
全息术利用干涉和衍射原理，可以记录并重现物体的完整光学信息（振幅和相位）。
6.9.4 光纤通信
利用光的全反射原理，光纤可以长距离传输光信号，具有大容量、低损耗的优势。
6.10 本章小结
6.10.1 干涉
| 类型 | 明纹条件 | 暗纹条件 |
|---|---|---|
| 双缝干涉 | \(d\sin\theta = m\lambda\) | \(d\sin\theta = (m+\frac{1}{2})\lambda\) |
| 薄膜干涉 | \(2ne\cos r = (m+\frac{1}{2})\lambda\) | \(2ne\cos r = m\lambda\) |
6.10.2 衍射
| 类型 | 条件 |
|---|---|
| 单缝暗纹 | \(a\sin\theta = m\lambda\) |
| 光栅主极大 | \(d\sin\theta = m\lambda\) |
6.10.3 分辨本领
- 望远镜：\(\theta_{\min} = 1.22\lambda/D\)
- 显微镜：\(d_{\min} = 0.61\lambda/\text{NA}\)
6.11 练习题
- 双缝干涉： 计算双缝间距为 0.5 mm、缝到屏幕距离为 1 m 时，绿光（\(\lambda = 550\) nm）对应的条纹间距。
- 薄膜干涉： 计算增透膜的最小厚度（设折射率 \(n = 1.38\)，光波长 \(\lambda = 550\) nm）。
- 衍射： 计算单缝衍射中央明纹的宽度。
- 编程练习： 使用 Python 绘制双缝干涉的强度分布曲线，分析波长和缝距对条纹的影响。
6.12 延伸阅读
- 《光学》- Hecht 著
- 《傅里叶光学》
6.13 参考资料
- 本章代码示例：
../代码/f1_interference.py- 双缝干涉条纹可视化
6.14 实践项目
设计一个简单的杨氏双缝实验： 1. 使用激光作为光源 2. 测量双缝到屏幕的距离 3. 测量条纹间距 4. 计算光的波长 5. 分析误差来源