19 C5 二维材料
凝聚态物理与量子材料基础
20 C5 二维材料家族：1.1 石墨烯——Dirac物理
20.1 章节概述
本章介绍石墨烯的结构和物理性质。石墨烯是碳的二维同素异形体，其独特的蜂窝状晶格结构导致了奇特的Dirac物理现象，包括无质量的Dirac费米子和量子霍尔效应。
学习目标： - 理解石墨烯的晶格结构和子格概念 - 掌握石墨烯的能带结构和Dirac锥 - 理解无质量Dirac费米子的物理图像 - 掌握量子霍尔效应的物理机制
20.2 1.1.1 石墨烯晶格结构
20.2.1 蜂窝状晶格
石墨烯是由碳原子构成的二维单层材料，其晶格结构为蜂窝状。每个碳原子通过 \(sp^2\) 杂化与三个相邻碳原子形成共价键，剩余的 \(p_z\) 轨道形成离域的 \(\pi\) 电子系统。
20.2.2 晶格常数
石墨烯的晶格参数：
| 参数 | 符号 | 数值 |
|---|---|---|
| 碳-碳键长 | \(a_{CC}\) | 1.42 |
| 晶格常数 | \(a_0=\sqrt{3}a_{CC}\) | 2.46 |
| 层间距 | \(d\) | 3.35 |
下文若无特别说明，记号 \(a\) 统一表示碳-碳键长（即 \(a=a_{CC}\)），二维 Bravais 晶格常数写作 \(a_0\)。
20.2.3 子格结构
石墨烯的蜂窝状晶格可以看作是由两个三角子格（A和B）嵌套而成。每个子格内部的原子间距为 \(\sqrt{3}a\)，而A、B子格之间通过键长 \(a_{CC}\) 连接。
晶格矢量：
\[ \mathbf{a}_1 = \left(\frac{\sqrt{3}a}{2}, \frac{a}{2}\right), \quad \mathbf{a}_2 = \left(\frac{\sqrt{3}a}{2}, -\frac{a}{2}\right) \]
倒格矢：
\[ \mathbf{b}_1 = \frac{2\pi}{a}\left(1, -\frac{1}{\sqrt{3}}\right), \quad \mathbf{b}_2 = \frac{2\pi}{a}\left(0, \frac{2}{\sqrt{3}}\right) \]
20.3 1.1.2 能带结构
20.3.1 紧束缚模型
石墨烯的 \(\pi\) 和 \(\pi^*\) 能带可以用紧束缚模型描述。哈密顿量：
\[ H = -t \sum_{\langle i,j \rangle} (c_i^\dagger c_j + \text{h.c.}) \]
其中 \(t \approx 2.7\) eV 是跳跃积分，\(\langle i,j \rangle\) 表示最近邻。
20.3.2 能带色散关系
石墨烯的能带色散关系为：
\[ E(\mathbf{k}) = \pm t \sqrt{1 + 4\cos\left(\frac{\sqrt{3}k_x a}{2}\right)\cos\left(\frac{k_y a}{2}\right) + 4\cos^2\left(\frac{k_y a}{2}\right)} \]
20.3.3 Dirac点
在 K 和 K’ 点（布里渊区顶点），能带相交于一点，称为Dirac点。该点处能量 \(E = 0\)，即费米能级位置。
20.4 1.1.3 Dirac锥与无质量Dirac费米子
20.4.1 Dirac锥
在K点附近，能带色散近似为：
\[ E(\mathbf{q}) = \pm \hbar v_F |\mathbf{q}| \]
其中 \(\mathbf{q} = \mathbf{k} - \mathbf{K}\)，\(v_F \approx 10^6\) m/s 是费米速度。
这种色散关系类似于光子的色散，因此称为Dirac锥。
20.4.2 无质量Dirac费米子
石墨烯中的低能激发类似于无质量的Dirac费米子： - 能量与动量呈线性关系 - 类似于相对论性粒子 - 满足Dirac方程而不是Schrodinger方程
20.5 1.1.4 量子霍尔效应
20.5.1 量子霍尔效应的发现
在石墨烯中观测到反常的量子霍尔效应：
\[ \sigma_{xy} = \pm \frac{4e^2}{h} \]
注意：量子化电导是 \(\pm 4e^2/h\)，而不是常规的 \(ne^2/h\)。
20.5.2 Landau能级
无质量Dirac费米子的Landau能级：
\[ E_n = \text{sgn}(n) \sqrt{2e\hbar v_F^2 B |n|} \]
注意：Landau能级与 \(\sqrt{B}\) 成正比，而不是线性。
20.6 本章小结
| 概念 | 公式/描述 | 物理意义 |
|---|---|---|
| 石墨烯晶格 | 蜂窝状，A/B子格 | 二维碳同素异形体 |
| Dirac点 | K/K’点，\(E=0\) | 能带交叉点 |
| 费米速度 | \(v_F \approx 10^6\) m/s | Dirac锥斜率 |
| 量子霍尔电导 | \(\pm 4e^2/h\) | 反常量子霍尔效应 |
21 C5 二维材料家族：1.2 TMDC——过渡金属硫化物
21.1 章节概述
本章介绍过渡金属硫化物（TMDC）二维材料。TMDC材料具有与石墨烯不同的电子结构，表现出直接带隙、谷自由度和强烈的自旋轨道耦合效应，是研究低维光电和谷电子学的理想平台。
学习目标： - 理解TMDC的晶体结构（1T、2H相） - 掌握TMDC的能带结构和直接带隙特性 - 理解谷自由度的物理图像 - 掌握自旋轨道耦合效应的机制
21.2 1.2.1 TMDC晶体结构
21.2.1 结构类型
TMDC材料的化学式为 \(MX_2\)，其中 \(M\) 是过渡金属（Mo、W、Nb、Ta等），\(X\) 是硫族元素（S、Se、Te）。
常见晶相：
| 相结构 | 金属配位 | 对称性 | 电子构型 |
|---|---|---|---|
| 2H | 三棱柱 | \(D_{3h}\) | \(d^4\), \(d^6\) |
| 1T | 八面体 | \(D_{3d}\) | \(d^5\), \(d^7\) |
| 1T’ | 扭曲八面体 | \(C_{2h}\) | - |
21.2.2 1T和2H相的结构差异
2H相（半导体）： - 过渡金属原子与六个硫族原子形成三棱柱配位 - 每个单元胞包含两个 \(MX_2\) 层 - 具有 \(D_{3h}\) 点群对称性
1T相（金属）： - 八面体配位结构 - 常见于 \(TaS_2\), \(TaSe_2\) 等 - 可能发生电荷密度波转变
21.3 1.2.2 能带结构
21.3.1 电子结构特征
单层TMDC（如 \(MoS_2\)）的能带结构具有以下特征：
- 直接带隙：在 \(K\) 或 \(K'\) 点，价带顶与导带底相遇
- 带隙大小：\(1-2\) eV范围，适合光电应用
- 强自旋轨道耦合：来自重过渡金属原子
21.3.2 带隙类型
| 材料 | 体相带隙 | 单层带隙 | 带隙类型 |
|---|---|---|---|
| \(MoS_2\) | 1.3 eV (间接) | 1.8 eV (直接) | 直接 |
| \(MoSe_2\) | 1.1 eV (间接) | 1.5 eV (直接) | 直接 |
| \(WS_2\) | 1.3 eV (间接) | 1.8 eV (直接) | 直接 |
| \(WSe_2\) | 1.2 eV (间接) | 1.6 eV (直接) | 直接 |
21.4 1.2.3 谷自由度
21.4.1 谷的概念
TMDC的导带和价带在 \(K\) 和 \(K'\) 点有极值，形成两个”谷”。
21.4.2 谷自由度
- 谷量子数：\(\tau = \pm 1\) 标记 \(K\)/\(K'\) 谷
- 谷选择定则：圆偏振光的选择性激发
- 谷极化：非平衡态下谷中的载流子浓度差
21.4.3 自旋-谷耦合
由于强自旋轨道耦合，自旋和谷锁定： - 在 \(K\) 谷，价带顶自旋向上 - 在 \(K'\) 谷，价带顶自旋向下
21.5 本章小结
| 概念 | 公式/描述 | 物理意义 |
|---|---|---|
| TMDC结构 | \(MX_2\)，1T/2H相 | 过渡金属硫化物 |
| 直接带隙 | \(1-2\) eV | 适合光电应用 |
| 谷自由度 | \(K\)/\(K'\) 谷 | 谷电子学基础 |
| 自旋-谷锁定 | SOC导致 | 谷极化基础 |
22 C5 二维材料家族：1.3 hBN——六方氮化硼
22.1 章节概述
本章介绍六方氮化硼（hBN）二维材料。hBN是一种宽带隙绝缘体，具有优异的电绝缘性和化学稳定性，是二维材料研究和器件应用中的重要衬底和封装材料。
学习目标： - 理解hBN的晶体结构 - 掌握hBN的电子结构和绝缘性质 - 了解hBN在二维材料研究中的应用
22.2 1.3.1 hBN晶体结构
22.2.1 结构特点
hBN具有与石墨烯类似的蜂窝状晶格结构，但由B和N原子交替排列组成。
晶格常数： - \(a = 2.50\) - 层间距 \(d = 3.33\)
22.2.2 与石墨烯的区别
- B-N键具有离子性（电负性差异）
- 电子结构与石墨烯完全不同
22.3 1.3.2 电子结构
22.3.1 能带结构
hBN是宽带隙绝缘体： - 体相带隙：\(\sim 5.9\) eV - 单层带隙：\(\sim 5.7\) eV
22.3.2 绝缘性来源
- B-N键的离子性导致带隙
- 无 \(\pi\) 电子的离域
22.4 1.3.3 应用
22.4.1 绝缘衬底
hBN是理想的二维材料衬底： - 原子级平整表面 - 优异的绝缘性 - 化学稳定性
22.4.2 封装材料
hBN可用于封装其他二维材料： - 保护材料免受环境影响 - 保持材料本征性质
22.5 本章小结
| 概念 | 公式/描述 | 物理意义 |
|---|---|---|
| hBN结构 | 蜂窝状，B-N交替 | 类石墨烯结构 |
| 带隙 | \(\sim 5.7\) eV | 宽带隙绝缘体 |
| 应用 | 衬底/封装 | 保护二维材料 |
23 C5 二维材料家族：1.4 其他二维材料
23.1 章节概述
本章补充石墨烯、TMDC 与 hBN 之外的二维材料代表，包括黑磷（磷烯）、MXene 与拓扑绝缘体薄膜，帮助建立“结构-能带-功能”的横向比较框架。
学习目标： - 理解黑磷的各向异性来源与器件价值 - 掌握 MXene 的结构特点与典型应用 - 了解拓扑绝缘体薄膜中的边界态物理
23.2 1.4.1 黑磷（磷烯）
黑磷具有褶皱蜂窝结构，呈现显著各向异性。其带隙随层数可调（约 \(0.3\sim2.0\) eV），兼具较高迁移率与红外响应能力，是二维光电器件的重要候选材料。
23.3 1.4.2 MXene
MXene 由 MAX 相选择性蚀刻得到，通式可写作 \(M_{n+1}X_nT_x\)。其中表面官能团 \(T_x\)（如 -O/-OH/-F）对导电性、界面化学和储能性能有决定性影响。
23.4 1.4.3 拓扑绝缘体薄膜
在二维极限下，拓扑绝缘体薄膜可出现受对称性保护的边界态，并与磁性或超导近邻效应结合，产生量子反常霍尔效应等新奇量子输运现象。
24 C5 二维材料家族：1.5 范德华异质结
24.1 章节概述
本章介绍范德华异质结——由不同二维材料通过范德华力堆叠形成的结构。这种人工结构可以实现自然界不存在的新奇物理性质，为二维材料器件应用开辟了新途径。
学习目标： - 理解范德华异质结的概念 - 掌握异质结的能带排列 - 了解莫尔超晶格效应
24.2 1.5.1 范德华异质结的概念
24.2.1 定义
范德华异质结是由不同二维材料通过弱范德华力堆叠形成的结构。
24.2.2 制备方法
- 机械转移法
- 范德华外延
- 堆叠组装
24.3 1.5.2 能带排列
24.3.1 Type I (嵌套型)
一种材料的带隙完全包含在另一种材料的带隙内。
24.3.2 Type II (错位型)
两种材料的导带和价带边缘位于不同位置。
24.3.3 Type III (倒转型)
一种材料的价带高于另一种材料的导带。
24.4 1.5.3 莫尔超晶格
24.4.1 莫尔图案
当两层二维材料以一定角度或晶格失配堆叠时，会形成周期性莫尔图案。
24.4.2 物理效应
- 莫尔势：周期性势场影响电子运动
- 平带：导致强关联效应
- 拓扑缺陷：可形成量子点等
24.5 本章小结
| 概念 | 公式/描述 | 物理意义 |
|---|---|---|
| 范德华异质结 | 不同2D材料堆叠 | 人工结构 |
| 能带排列 | Type I/II/III | 载流子行为 |
| 莫尔超晶格 | 周期性莫尔图案 | 强关联物理 |
25 C5 二维材料家族：1.6 物理图像培养专题
25.1 章节概述
本章对 C5 做方法论收束，强调二维材料研究中的“物理图像优先”思维：先抓主导机制，再落到模型与公式，最后回到可观测量。
学习目标： - 理解维度降低如何重塑关键物理量 - 建立二维材料的统一认知图景 - 掌握从现象到模型的分析路径
25.2 1.6.1 维度效应与统一视角
从三维到二维后，屏蔽减弱、量子限制增强、界面效应放大。由此带来更强的激子效应、更敏感的外场响应和更可设计的能带工程窗口。
25.3 1.6.2 核心图像串联
- 石墨烯：Dirac 色散与高迁移率
- TMDC：谷自由度与自旋-轨道耦合
- hBN：宽带隙绝缘与高质量衬底
- 异质结：莫尔势与平带驱动的关联效应
25.4 1.6.3 方法论清单
建议按“结构 → 能带 → 相互作用 → 实验信号”四步进行分析，并用最小模型（紧束缚、有效哈密顿量、态密度）先做数量级判断，再进入高精度计算。
25.5 参考资料
- A. K. Geim & K. S. Novoselov, “The rise of graphene”, Nat. Mater. (2007)
- K. F. Mak et al., “Atomically thin MoS2: a new direct-gap semiconductor”, Phys. Rev. Lett. (2010)
- A. C. Ferrari et al., “Science and technology roadmap for graphene”, Nanoscale (2015)