3 F1 基础模块：1.2 牛顿力学深化
3.1 章节概述
上节回顾：在 1.1 运动学中，我们学习了描述物体运动的语言——位移、速度、加速度。无论是匀速直线运动还是抛体运动，我们都能用数学方程精确描述。但这些方程回答的是”物体怎样运动”，而非”为什么会这样运动”。
本节问题：为什么高速行驶的卡车比小汽车更难停下？为什么弹性球碰撞后能弹回，而泥巴却粘在上面？这些问题的答案藏在动量与能量的概念中。
本章在高中物理的基础上，深化牛顿力学的核心概念，重点介绍动量、功和能的守恒定律。这些概念不仅是经典力学的基础，也是后续学习量子力学和统计物理的重要工具。
学习目标： - 理解动量定理和动量守恒定律 - 掌握功和能的计算方法 - 理解机械能守恒的条件 - 能够分析碰撞过程
3.2 1.2.1 动量与冲量
引导问题： - 为什么拳击选手要后退来化解冲击力，而不是硬扛？ - 为什么高铁紧急制动距离比汽车长得多？ - 动量和动能都能描述”运动的强度”，它们有什么区别？
3.2.1 动量的定义
想象一下：一只小蚊子撞在你脸上，你几乎不会有感觉；但一只相同速度的大象撞过来，后果不堪设想。这里除了质量还有什么在起作用？
动运动状态的物理量，定义为质量与速度的乘积量是描述物体：
\[ \vec{p} = m\vec{v} \]
动量是矢量，方向与速度方向相同。在国际单位制中，动量的单位是 \(\text{kg} \cdot \text{m/s}\)。
物理图像——“运动量”：动量可以理解为物体所携带的”运动量”。质量越大、速度越快，物体携带的”运动量”就越多。这就是为什么同样速度的大象比蚊子更有”冲击力”。
3.2.2 冲量的定义
冲量是力与作用时间的乘积，描述了力对物体运动状态的改变：
\[ \vec{J} = \vec{F} \Delta t \]
更一般地，当力随时间变化时：
\[ \vec{J} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}(t) \, dt \]
物理图像——“力的时间累积”：冲量可以理解为力在时间上的”累积效应”。短时间内的巨大冲击力（冲量很大）可以瞬间改变物体动量，这解释了为什么拳击选手需要后退来延长受力时间，从而分散冲击力。
3.2.3 动量定理
现在我们来推导动量定理。从牛顿第二定律出发：
\[ \vec{F} = m\vec{a} = m\frac{d\vec{v}}{dt} \]
两边乘以 \(dt\) 并积分：
\[ \int_{t_1}^{t_2} \vec{F} \, dt = m\int_{t_1}^{t_2} d\vec{v} = m(\vec{v}_2 - \vec{v}_1) \]
因此得到动量定理：
\[ \vec{J} = \Delta \vec{p} = m\vec{v}_2 - m\vec{v}_1 \]
物理意义： 合外力对物体的冲量等于物体动量的变化。
适用条件： 该定理对任何惯性参考系均成立，适用于任意力（恒力或变力）。
3.2.4 动量守恒定律
物理情境：想象两个学生在冰面上相撞（冰面摩擦力极小，可忽略）。他们相互作用后，各自的运动状态都改变了，但似乎有什么东西保持不变……
当系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变：
\[ \sum \vec{p}_i = \text{constant} \]
或者写成初末状态相等的形式：
\[ \sum_{i} m_i \vec{v}_i = \sum_{i} m_i \vec{v}_i' \quad (\vec{F}_{\text{外}} = 0) \]
推导：对系统内每个物体应用动量定理并求和：
\[ \sum \vec{J}_i = \sum \Delta \vec{p}_i \]
内力是一对作用力与反作用力，它们大小相等、方向相反，因此内力的总冲量为零。当外力为零时：
\[ \sum \Delta \vec{p}_i = 0 \quad \Rightarrow \quad \sum \vec{p}_i = \text{constant} \]
适用条件： - 系统不受外力或所受外力矢量和为零 - 外力远小于内力（如碰撞、爆炸）——此时可近似认为动量守恒 - 特定方向上的动量守恒（当某一方向外力为零时）
与量子力学的联系：动量守恒定律在量子力学中依然成立！在量子隧穿、粒子散射等过程中，动量守恒是基本对称性（空间平移对称性）的直接结果。这将在后续课程 “量子力学基础” 中详细讨论。
3.3 1.2.2 碰撞过程
引导问题： - 为什么台球比赛中球碰撞后能继续运动，而汽车碰撞后却可能粘在一起？ - 碰撞过程中什么量守恒？什么量可能不守恒？ - 为什么质量大的球碰静止的小球，小球会飞出去而大球几乎不动？
3.3.1 碰撞的分类
| 类型 | 特点 | 能量守恒 | 动量守恒 |
|---|---|---|---|
| 弹性碰撞 | 动能完全守恒 | 是 | 是 |
| 非弹性碰撞 | 部分动能转化为内能 | 否 | 是 |
| 完全非弹性碰撞 | 物体粘在一起 | 否 | 是 |
物理图像——“弹球游戏”：想象弹球游戏： - 弹性碰撞就像两个弹性很好的球相撞，碰撞后各自弹开，动能没有损失 - 完全非弹性碰撞就像两个泥巴球相撞，撞在一起变成一个大球，动能转化为内能（发热）
3.3.2 一维弹性碰撞
设质量为 \(m_1\) 和 \(m_2\) 的两个小球发生一维弹性碰撞，碰撞前速度为 \(v_1\) 和 \(v_2\)，碰撞后速度为 \(v_1'\) 和 \(v_2'\)。
动量守恒： \[ m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \]
能量守恒： \[ \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1'^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2'^2 \]
推导碰撞后速度：从动量守恒解出 \(v_2' = v_2 + \frac{m_1}{m_2}(v_1 - v_1')\)，代入能量守恒方程，化简后得到：
\[ v_1' = \frac{(m_1 - m_2) v_1 + 2 m_2 v_2}{m_1 + m_2} \]
\[ v_2' = \frac{(m_2 - m_1) v_2 + 2 m_1 v_1}{m_1 + m_2} \]
适用条件：该公式适用于一维弹性碰撞，且仅在碰撞后两球不发生二次碰撞的前提下成立。
3.3.3 特殊情况的特例
质量相等 (\(m_1 = m_2\))： \[ v_1' = v_2, \quad v_2' = v_1 \] 两球速度交换。这就像两个运动员交换位置！
重球碰静球 (\(m_1 \gg m_2, v_2 = 0\))： \[ v_1' \approx v_1, \quad v_2' \approx 2v_1 \] 大球几乎不受影响，小球以两倍速度飞出。类似高尔夫球杆击球。
轻球碰重球 (\(m_1 \ll m_2, v_2 = 0\))： \[ v_1' \approx -v_1, \quad v_2' \approx 0 \] 轻球被弹回。类似网球撞墙反弹。
3.3.4 完全非弹性碰撞
碰撞后两物体以相同速度运动：
\[ v' = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} \]
推导：设碰撞后共同速度为 \(v'\)，由动量守恒： \[ m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)v' \] 解得上述公式。
动能损失： \[ \Delta E_k = \frac{1}{2} \mu (v_1 - v_2)^2 \]
其中 \(\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\) 是约化质量。
推导：碰撞前总动能 \(E_{k1} = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2\)，碰撞后 \(E_{k2} = \frac{1}{2}(m_1+m_2)v'^2\)，代入 \(v'\) 表达式并化简即可得 \(\Delta E_k\)。这部分损失的动能转化为内能（热能）。
与统计物理的联系：碰撞过程中动能向内能的转化，正是热力学第二定律的微观体现。在后续 “统计物理基础” 课程中，我们将学习如何从大量粒子的碰撞统计中推导温度、压强等宏观量。
3.4 1.2.3 功与功率
引导问题： - 你用力推墙但墙没动，这个过程中你做功了吗？ - 为什么爬山比走平路更累？明明走的距离可能更短？ - 为什么汽车上坡需要低档位（增大牵引力）？
3.4.1 功的定义
物理情境：你用水平力推箱子在水平地面上移动，力与位移有一定夹角。
功是力与位移的标量积：
\[ W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F s \cos\theta \]
其中 \(\theta\) 是力与位移方向的夹角。
功的正负： - \(\theta < 90^\circ\)：正功，力对物体做功 - \(\theta = 90^\circ\)：零功，力不做功（垂直方向） - \(\theta > 90^\circ\)：负功，力对物体做负功（阻力）
重要澄清：如果你用力推墙但墙没动，\(s = 0\)，所以 \(W = 0\)！这回答了第一个引导问题。
3.4.2 变力的功
当力大小或方向变化时，需要用积分计算：
\[ W = \int_{A}^{B} \vec{F} \cdot d\vec{l} \]
这实际上是求力-位移曲线下的面积。
3.4.3 常见力的功
重力： \[ W_G = mg(h_1 - h_2) = mg\Delta h \] （与路径无关，只与高度差有关——这是重力为保守力的体现）
弹簧力： \[ W_k = \int_{x_1}^{x_2} (-kx) \, dx = \frac{1}{2}k x_1^2 - \frac{1}{2}k x_2^2 = -\frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2) \]
物理图像——“弹簧的储能”：把弹簧想象成弹簧床。你把球压在弹簧上（压缩弹簧），球静止时弹簧储存了势能；释放后弹簧把球弹出去，势能转化为动能。
摩擦力： \[ W_f = -\mu N s \] （与路径有关——摩擦力是非保守力，做功会消耗机械能）
3.4.4 功率
功率是功对时间的导数，表示做功的快慢：
平均功率： \[ \bar{P} = \frac{W}{\Delta t} \]
瞬时功率： \[ P = \frac{dW}{dt} = \vec{F} \cdot \frac{d\vec{s}}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v} = Fv\cos\theta \]
功率的单位是瓦特 (W)，1 W = 1 J/s。
物理图像——“做功的快慢”：功率就像跑步的速度。跑得再快（总功大），如果慢慢跑（时间长），功率也不大。汽车上坡时需要低档位，正是为了在相同功率下获得更大的牵引力。
3.5 1.2.4 动能与势能
引导问题： - 既然动能和速度有关，为什么不直接用 \(\frac{1}{2}mv^2\) 而要发明”动能”这个概念？ - 静止在高山上的石头有能量吗？为什么说它有”势能”？ - 拉开的弓弦有什么能量？
3.5.1 动能
动能是物体由于运动而具有的能量：
\[ E_k = \frac{1}{2}mv^2 \]
为什么要用动能？ 动能是一个标量（比速度矢量更简单），而且是一个守恒量（在特定条件下）。更重要的是，动能与功有直接联系——这正是动能定理的核心。
动能定理推导：从牛顿第二定律出发： \[ \vec{F} = m\vec{a} = m\frac{d\vec{v}}{dt} \]
两边点乘位移 \(d\vec{s} = \vec{v}dt\)： \[ \vec{F} \cdot d\vec{s} = m\frac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v}dt = m\vec{v} \cdot d\vec{v} = d\left(\frac{1}{2}mv^2\right) \]
对全过程积分：
\[ \int_{A}^{B} \vec{F} \cdot d\vec{s} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 \]
左边正是合外力做的功 \(W_{\text{合}}\)，因此得到动能定理：
\[ W_{\text{合}} = \Delta E_k = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 \]
物理意义： 合外力对物体所做的功等于物体动能的增量。
3.5.2 势能
势能是物体由于位置或构型而具有的能量。
物理图像——“能量的存储”：势能就像储蓄罐里的钱。石头在高处有”重力势能”（可以下落做功），拉开的弓弦有”弹性势能”（可以弹出去做功）。
3.5.2.1 重力势能
\[ E_p = mgh \]
重力势能是相对的，通常取地面或无穷远处为零势能面。
重要：势能的值取决于零势能面的选择，但势能差是绝对的。
3.5.2.2 弹性势能
\[ E_p = \frac{1}{2}kx^2 \]
其中 \(x\) 是弹簧相对平衡位置的位移。
推导：从 \(W = \int -kx \, dx\) 可得弹簧力做功等于弹性势能的减少量： \[ W = -\Delta E_p \quad \Rightarrow \quad E_p = \frac{1}{2}kx^2 \]
3.5.3 机械能
机械能是动能和势能的总和：
\[ E = E_k + E_p \]
3.6 1.2.5 机械能守恒定律
引导问题： - 为什么荡秋千时，如果不额外施加外力，秋千会越荡越低？ - “永动机”为什么不可能实现？ - 为什么滑雪时要走雪道而不是直接从山顶滑下来？
3.6.1 机械能守恒
只有重力或弹簧弹力做功（即保守力做功）时，系统的机械能保持不变：
\[ E = E_k + E_p = \text{constant} \]
或者： \[ \Delta E_k + \Delta E_p = 0 \]
推导：对系统应用动能定理： \[ W_{\text{合}} = \Delta E_k \]
合外力做功 = 保守力做功 + 非保守力做功 = \(-\Delta E_p + W_{\text{非保守}}\)
因此： \[ -\Delta E_p + W_{\text{非保守}} = \Delta E_k \]
整理得： \[ W_{\text{非保守}} = \Delta E_k + \Delta E_p = \Delta E_{\text{机械}} \]
当 \(W_{\text{非保守}} = 0\)（即只有保守力做功）时，\(\Delta E_{\text{机械}} = 0\)，机械能守恒。
适用条件：该定律适用于只有保守力（重力、弹簧力、万有引力、静电力）做功的系统。
3.6.2 保守力与非保守力
| 保守力 | 非保守力 |
|---|---|
| 重力 | 摩擦力 |
| 弹簧力 | 空气阻力 |
| 万有引力 | 爆炸力 |
| 静电力 | 驱动力 |
物理图像——“能量的记忆”：保守力就像记忆力很好的人——无论你走哪条路（做多少功），只要你回到起点，它都会把能量还给你。非保守力则像忘性大的人——能量一旦花出去就回不来了（转化为热能）。
保守力的特点： 做功与路径无关，只与起点和终点有关。
3.6.3 功能原理
机械能的改变等于非保守力做的功：
\[ W_{\text{非保守}} = \Delta E_{\text{机械}} \]
这统一了动能定理和机械能守恒定律，是更一般的能量观点。
3.7 1.2.6 能量守恒与转化
引导问题： - 既然能量守恒，为什么我们还要节约能源？ - 既然能量不会消失，为什么会出现”能源危机”？ - 能量和动量有什么区别？为什么两个都守恒？
3.7.1 能量守恒定律
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体。
这是物理学中最普遍、最基本的定律之一，适用于从宏观到微观的各个层次。
常见能量形式： - 机械能（动能 + 势能） - 内能（热能） - 电能 - 光能 - 核能 - 化学能
3.7.2 能量转化示例
3.7.2.1 自由落体
| 阶段 | 动能 \(E_k\) | 势能 \(E_p\) | 总能量 \(E\) |
|---|---|---|---|
| 初始 | 0 | \(mgh\) | \(mgh\) |
| 中点 | \(\frac{1}{2}mv^2\) | \(\frac{1}{2}mgh\) | \(mgh\) |
| 落地 | \(\frac{1}{2}mv^2\) | 0 | \(mgh\) |
物理图像——“能量兑换”：自由落体就像货币兑换——势能（“存折”）不断兑换成动能（“现金”），但总额不变。
3.7.2.2 弹簧振子
| 阶段 | 动能 \(E_k\) | 势能 \(E_p\) | 总能量 \(E\) |
|---|---|---|---|
| 最高点 | 0 | \(\frac{1}{2}kA^2\) | \(\frac{1}{2}kA^2\) |
| 平衡位置 | \(\frac{1}{2}kA^2\) | 0 | \(\frac{1}{2}kA^2\) |
与下节联系：弹簧振子是简谐运动的典型例子，而简谐运动将在下一节”振动与波”中深入学习。机械能守恒正是简谐运动的能量基础。
动量与能量的区别：动量是矢量（方向重要），能量是标量。在碰撞中，动量决定物体”往哪个方向走”，能量决定物体”走多快”。两者都守恒，但描述的是运动的不同方面。
3.8 1.2.7 综合应用
3.8.1 例题：碰撞与能量分析
题目： 质量 \(m_1 = 2 \, \text{kg}\) 的小球以 \(v_1 = 3 \, \text{m/s}\) 的速度向右运动，与静止的质量 \(m_2 = 1 \, \text{kg}\) 的小球发生弹性碰撞。求碰撞后两球的速度。
解：
使用弹性碰撞公式：
\[ v_1' = \frac{(m_1 - m_2) v_1 + 2 m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{(2-1) \times 3 + 0}{3} = 1 \, \text{m/s} \]
\[ v_2' = \frac{(m_2 - m_1) v_2 + 2 m_1 v_1}{m_1 + m_2} = \frac{0 + 2 \times 2 \times 3}{3} = 4 \, \text{m/s} \]
验证： 碰撞前总动能： \[ E_{k1} = \frac{1}{2} \times 2 \times 3^2 + \frac{1}{2} \times 1 \times 0^2 = 9 \, \text{J} \]
碰撞后总动能： \[ E_{k2} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1^2 + \frac{1}{2} \times 1 \times 4^2 = 1 + 8 = 9 \, \text{J} \]
能量守恒！
3.9 本章小结
本节回顾：我们从”为什么会这样运动”的角度，深入学习了动量、冲量、功和能的概念。动量定理告诉我们力如何改变运动状态，机械能守恒则揭示了能量转化与守恒的普遍规律。
下节预告：弹簧振子的简谐运动是机械能守恒的完美体现。在下一节”振动与波”中，我们将看到这种周期性运动如何推广为更一般的波动理论。从机械波到电磁波，从牛顿力学到量子力学，振动的思想将贯穿整个物理学。
| 概念 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 动量 | \(\vec{p} = m\vec{v}\) | 矢量，描述运动强度 |
| 动量定理 | \(\vec{J} = \Delta \vec{p}\) | 冲量等于动量变化 |
| 动量守恒 | \(\sum \vec{p} = \text{const}\) | 外力为零时成立 |
| 功 | \(W = \vec{F} \cdot \vec{s}\) | 标量，能量转化的桥梁 |
| 动能 | \(E_k = \frac{1}{2}mv^2\) | 运动能量 |
| 势能 | \(E_p = mgh\) / \(E_p = \frac{1}{2}kx^2\) | 位置/构型能量 |
| 机械能守恒 | \(E_k + E_p = \text{const}\) | 仅保守力做功时成立 |
| 功能原理 | \(W_{\text{非保守}} = \Delta E_{\text{机械}}\) | 机械能变化的普遍公式 |
3.10 练习题
- 动量守恒： 两个相同的小球正碰后交换速度，请解释这一现象。
- 能量分析： 计算弹簧振子从最大位移到平衡位置过程中，弹力做功的表达式。
- 综合题： 一质量为 \(m\) 的物体从高度为 \(h\) 的光滑斜面滑下，进入水平面后与一弹簧相互作用，求弹簧的最大压缩量。
- 编程练习： 使用 Python 模拟完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞，验证动量和能量守恒。
3.11 延伸阅读
- 《经典力学》- Goldstein 著
- 《物理学教程》- 力学部分（高等教育出版社）
- Python 动画教程：matplotlib animation
3.12 参考资料
- 本章代码示例参考
../代码/f1_kinematics.py - 碰撞模拟可使用 Python 的 NumPy 进行数值计算