13 谐振子与升降算符
14 F2 量子力学基础：1.7 谐振子与升降算符
14.1 章节概述
本节导航：量子谐振子是量子力学中最重要的系统之一。它不仅是许多物理问题（晶格振动、光场等）的简化模型，还引入了升降算符这一强大工具。升降算符方法不仅适用于谐振子，还推广到了角动量、量子场论等领域，是量子物理学的核心技术。
量子谐振子的能级是等间距的，这与经典谐振子的连续能谱形成鲜明对比。更重要的是，基态能量不为零——这就是著名的零点能，它源于不确定性原理，是量子世界的基本特征。
学习目标： - 掌握量子谐振子的能级和波函数 - 理解升降算符的代数方法 - 理解零点能的物理意义 - 掌握相干态的概念
14.2 1.7.1 量子谐振子
14.2.1 思考问题
问题 1：在经典力学中，谐振子的能量可以为零（静止在平衡位置）。在量子力学中，为什么基态能量不为零？
问题 2：如果普朗克常数 \(h\) 趋近于零，量子谐振子的行为会趋近经典谐振子吗？
问题 3：晶格中的原子振动可以近似为谐振子。这种”量子化”对固体的热容有何影响？
14.2.2 经典谐振子
经典力学中，一个一维谐振子的势能为：
\[V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\]
能量可以是任意值：\(E = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2\)，其中 \(A\) 是振幅。
14.2.3 量子谐振子
量子力学中，谐振子的哈密顿算符为：
\[\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2\]
定态薛定谔方程：
\[\hat{H}\psi(x) = E\psi(x)\]
14.2.4 能级
求解薛定谔方程，得到的能量本征值为：
\[E_n = \hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right), \quad n = 0, 1, 2, 3, \ldots\]
关键特征： - 能级是等间距的，间隔为 \(\hbar\omega\) - 基态能量 \(E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega > 0\)
14.2.5 波函数
能量本征态（Hermite 多项式）：
\[\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4} H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\right) e^{-m\omega x^2/(2\hbar)}\]
其中 \(H_n\) 是 Hermite 多项式。
物理图像：量子化的”弹簧”
想象一个原子在平衡位置附近振动。在量子世界，这个”弹簧”的能量不能连续变化，只能取一系列分立的值：\(E = \frac{1}{2}\hbar\omega, \frac{3}{2}\hbar\omega, \frac{5}{2}\hbar\omega, \ldots\)。即使在最低能量状态（基态），原子仍然在”振动”——这就是零点运动。
14.3 1.7.2 零点能
14.3.1 基态能量
量子谐振子的基态能量：
\[E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega\]
这称为零点能。
14.3.2 零点能的起源
零点能源于不确定性原理。如果我们尝试将粒子固定在 \(x = 0\)（势能最小点），位置不确定度 \(\Delta x\) 趋于零，但动量不确定度 \(\Delta p\) 会趋于无穷大，导致动能发散。
最小化总能量得到平衡：\(\Delta x \cdot \Delta p \sim \hbar\)，产生非零的基态能量。
14.3.3 零点能的实验证据
氦液相：即使在绝对零度，氦仍然是液体——零点能足以克服范德瓦尔斯力使氦原子保持液态。
Casimir 效应：两块平行金属板之间的量子涨落产生可测量的吸引力。
Lamb 位移：量子电动力学的重要预言。
物理图像：不能完全静止
想象一个被困在井底的粒子。在经典物理中，你可以让它静止在井底（能量为零）。但在量子世界，如果粒子完全静止（动量确定），它的位置就完全不确定——它有一定概率”穿墙”跑出井底。为了不被困在能量无限高的状态，粒子必须保持一定的”晃动”。
14.4 1.7.3 升降算符方法
14.4.1 引入升降算符
定义湮灭算符（下降算符）：
\[\hat{a} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\hat{x} + i\sqrt{\frac{1}{2m\omega\hbar}}\hat{p}\]
和产生算符（上升算符）：
\[\hat{a}^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\hat{x} - i\sqrt{\frac{1}{2m\omega\hbar}}\hat{p}\]
术语说明
“产生算符”和”湮灭算符”这两个名称来自量子场论。在谐振子语境下，我们可以更直观地理解为： - \(\hat{a}^\dagger\)：能量”升级”算符 → 从第 \(n\) 激发态升到第 \(n+1\) 态 - \(\hat{a}\)：能量”降级”算符 → 从第 \(n\) 激发态降到第 \(n-1\) 态
这里的”产生”不是指产生一个真实的粒子，而是指在量子态的”能量阶梯”上上升一级。
14.4.2 基本对易关系
\[\hat{a}\hat{a}^\dagger - \hat{a}^\dagger\hat{a} = [\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1\]
14.4.3 哈密顿算符的表示
哈密顿算符可以简洁地写为：
\[\hat{H} = \hbar\omega\left(\hat{a}^\dagger\hat{a} + \frac{1}{2}\right) = \hbar\omega\left(\hat{n} + \frac{1}{2}\right)\]
其中 \(\hat{n} = \hat{a}^\dagger\hat{a}\) 是粒子数算符（或”声子数算符”）。
14.4.4 升降算符的作用
升降算符作用于本征态：
\[\hat{a}|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle\] \[\hat{a}^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}|n+1\rangle\]
这就是为什么它们被称为”升降算符”——它们可以将系统从一个能量本征态升到相邻的态。
14.4.5 基态
从基态出发，应用产生算符可以生成所有激发态：
\[|n\rangle = \frac{(\hat{a}^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle\]
物理图像：台阶的比喻
想象量子谐振子的能级是一系列等间距的台阶。升降算符就像在台阶间移动的电梯：\(\hat{a}^\dagger\) 上一层楼，\(\hat{a}\) 下一层楼。每一次升降，能量改变 \(\hbar\omega\)。
14.5 1.7.4 代数求解方法
14.5.1 不需要解微分方程
升降算符方法的美妙之处在于：我们不需要求解薛定谔方程！只需要知道基态，然后通过代数运算就能得到所有激发态。
14.5.2 步骤
- 寻找基态：满足 \(\hat{a}|0\rangle = 0\) 的态
- 构造激发态：\(|n\rangle = \frac{(\hat{a}^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle\)
- 计算能量：\(E_n = \hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right)\)
14.5.3 基态的确定
从 \(\hat{a}|0\rangle = 0\) 在坐标表象中：
\[\left(\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x + \sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}\frac{d}{dx}\right)\psi_0(x) = 0\]
解这个一阶微分方程得到高斯型波函数：
\[\psi_0(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4} e^{-m\omega x^2/(2\hbar)}\]
14.5.4 波函数的递推
利用升降算符的性质，可以递推得到所有激发态的波函数：
\[x\psi_n(x) = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(\sqrt{n+1}\psi_{n+1}(x) + \sqrt{n}\psi_{n-1}(x)\right)\]
14.6 1.7.5 相干态
14.6.1 定义
相干态是湮灭算符的本征态：
\[\hat{a}|\alpha\rangle = \alpha|\alpha\rangle\]
其中 \(\alpha\) 是任意复数。
14.6.2 性质
最小不确定度：相干态是最小不确定度态，满足 \(\Delta x \Delta p = \hbar/2\)。
在相干态中测量：位置和动量的测量结果分别以高斯分布为中心，宽度最小。
经典极限：相干态最接近经典粒子运动。
14.6.3 相干态的时间演化
相干态 \(|\alpha\rangle\) 在时间演化下会怎样？考虑初始相干态 \(|\alpha\rangle\)，在哈密顿量 \(H = \hbar\omega(\hat{a}^\dagger\hat{a} + 1/2)\) 作用下：
\[|\alpha(t)\rangle = e^{-i\omega t/2} |\alpha e^{-i\omega t}\rangle\]
也就是说，相干态的参数 \(\alpha\) 以频率 \(\omega\) 在复平面上旋转！同时，相干态的最小不确定度保持不变——这正是经典粒子运动的量子对应。
这解释了为什么激光场（相干态）在时间演化下保持相干性——它是最”经典”的量子态。
14.6.4 物理应用
激光：激光场本质上就是相干态。
量子光学：相干态是最常用的量子化光场态。
量子化场：可以理解为”准经典”场态。
14.6.5 经典极限
当量子数 \(n\) 很大时，量子谐振子趋近经典谐振子。这一极限可以通过Einstein-Bohr对应原理来理解：
- 当 \(n \gg 1\) 时，相邻能级间隔 \(\Delta E = \hbar\omega\) 远小于总能量 \(E_n \approx n\hbar\omega\)
- 量子概率分布 \(|\psi_n(x)|^2\) 的峰位置与经典振动的转折点一致
- 相干态的时间演化参数 \(\alpha e^{-i\omega t}\) 描述了经典轨道运动
这体现了量子力学在宏观极限下还原到经典力学的普遍规律。
物理图像：最接近经典的量子态
相干态是量子力学中”最像”经典粒子运动的态。在相干态中，粒子位置和动量的不确定度都达到了最小值，而且这些不确定度不随时间变化——粒子就像经典粒子一样”稳定地”运动，尽管仍有量子涨落。
14.7 本章小结
量子谐振子能级：\(E_n = \hbar\omega(n + 1/2)\)，等间距排列。
零点能：\(E_0 = \hbar\omega/2\)，源于不确定性原理。
升降算符：\(\hat{a}\) 和 \(\hat{a}^\dagger\) 可以方便地生成所有激发态。
代数方法：不需要解微分方程，通过对易关系即可求解。
相干态：湮灭算符本征态，是最小不确定度态，最接近经典运动。
14.8 思考题
计算题：计算量子谐振子基态和第一激发态的位置概率分布，并比较它们。
零点能讨论：如果将量子谐振子放入真空中，它会停止振动吗？请解释。
代数推导：利用升降算符的对易关系，证明 \([H, a] = -\hbar\omega a\) 和 \([H, a^\dagger] = \hbar\omega a^\dagger\)。
相干态：证明相干态可以展开为能量本征态的叠加：\(|\alpha\rangle = e^{-|\alpha|^2/2} \sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle\)。
拓展思考：查阅资料，了解量子化声子（晶格振动的量子）如何用升降算符描述，以及它与光子（电磁场的量子）的关系。
14.9 参考资料
- Dirac, P. A. M. (1927). “The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radiation”. Proceedings of the Royal Society A.
- Moyal, J. E. (1949). “Quantum Mechanics as a Statistical Theory”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society.
- Sakurai, J. J., & Napolitano, J. (2017). “Modern Quantum Mechanics”.