2  F1 基础模块：1.1 运动学与微积分基础

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2.1 章节概述

本节导航：本节是整个 F1 基础模块的数学工具箱。我们将学习支撑整个经典力学体系的微积分语言。在后续的牛顿力学深化、振动与波章节中，导数和积分将反复出现。理解好本节内容，就掌握了打开物理学大门的钥匙。

本章介绍物理学中的运动学基础，以及支撑物理学的微积分工具。理解极限、导数和积分的概念对于掌握后续的力学、振动和波动章节至关重要。

学习目标： - 理解极限和连续性的概念 - 掌握导数的物理意义和计算方法 - 理解积分作为导数的逆运算 - 能够运用微积分分析一维和二维运动

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2.2 1.1.1 极限与连续性

2.2.1 思考问题

问题 1：当汽车在高速公路上行驶时，我们说”速度是 120 公里/小时”。但汽车的位置在每一个具体时刻都是确定的，速度怎么能在”某一时刻”定义呢？

问题 2：古希腊哲学家芝诺提出了”阿基里斯追乌龟”悖论：阿基里斯永远追不上乌龟。虽然我们直觉知道这是错的，但如何用数学反驳它？

问题 3：\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\) 这个公式的几何意义是什么？为什么它如此重要？

2.2.2 极限的定义

极限描述了函数在某一点附近的行为。对于一维运动，我们关心位置随时间变化的极限行为。

\[ \lim_{t \to t_0} x(t) = x_0 \]

这表示当时间 \(t\) 趋近于 \(t_0\) 时，位置 \(x\) 趋近于 \(x_0\)。

物理图像：高速公路上的汽车

想象一辆汽车在高速公路上行驶。我们想知道汽车在某一时刻的”瞬时速度”。如果汽车在 \(t_0\) 时刻的位置是 \(x(t_0)\)，我们无法直接用”位置变化除以时间”来计算瞬时速度，因为时间间隔为零。

但我们可以这样思考：让汽车从 \(t_0\) 时刻行驶到 \(t_0 + \Delta t\) 时刻，测量这段微小时间内的平均速度 \(\displaystyle \bar{v} = \frac{x(t_0 + \Delta t) - x(t_0)}{\Delta t}\)。当 \(\Delta t\) 越来越小时，这个平均速度越来越接近汽车在 \(t_0\) 时刻的”瞬时速度”。

这就是极限的物理意义：它描述了当自变量无限接近某一点时，函数的趋势。

2.2.3 极限的严格定义（\(\varepsilon\)-\(\delta\) 语言）

数学严谨性：虽然物理学家更关注直观理解，但数学的精确性帮助我们避免芝诺悖论式的错误。以下是极限的严格定义：

对于函数 \(f(x)\)，如果存在常数 \(L\)，对于任意给定的正数 \(\varepsilon\)（无论多么小），总存在一个正数 \(\delta\)，使得当 \(0 < |x - a| < \delta\) 时，恒有 \(|f(x) - L| < \varepsilon\)，则称 \(L\) 为函数 \(f(x)\) 当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时的极限，记作：

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

关键点说明： - \(\varepsilon\) 代表我们要求的精度（任意小） - \(\delta\) 代表 \(x\) 与 \(a\) 的接近程度 - 这个定义巧妙地避免了”除以零”的问题

2.2.4 极限的基本性质

如果 \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) 和 \(\lim_{x \to a} g(x) = M\)，则：

\[ \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M \]

\[ \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M \]

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} \quad (M \neq 0) \]

适用条件：上述性质要求极限 \(L\) 和 \(M\) 都存在。对于 \(0/0\) 或 \(\infty/\infty\) 等不定式，需要使用洛必达法则或其他技巧。

2.2.5 重要极限公式

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

几何证明：在单位圆中，当 \(x \to 0\) 时，弧长 \(x\) 与弦长 \(\sin x\) 越来越接近。这个极限在推导三角函数导数时至关重要。

\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \]

物理意义：这表示当角度很小时，余弦函数可以用 \(\displaystyle \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}\) 近似，这在物理中经常用于小角度近似。

\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \]

物理图像：想象银行存款本金为 1 元，年利率为 100%（即 1）。如果一年内复利 \(n\) 次，每次利率为 \(1/n\)，那么年末本息和为 \((1 + 1/n)^n\)。当复利次数趋向无穷时（这对应着”连续复利”），极限值就是自然常数 \(e \approx 2.718\)。这个常数在描述指数衰减、放射性衰变等物理过程中无处不在。

2.2.6 连续性

思考：如果函数在某一点的极限等于函数在该点的值，我们就说函数在该点连续。连续性有什么物理意义？

物理意义：如果位置函数 \(x(t)\) 是连续的，那么物体不会在某一瞬间”跳跃”到另一个位置——它必须经过中间的所有位置。这就是为什么我们说真实世界的运动是连续的。

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2.3 1.1.2 导数

2.3.1 思考问题

问题 1：为什么速度是位置对时间的导数，而不是位置除以时间？

问题 2：当你爬山时，“斜率”和”坡度”是什么意思？导数的几何意义与此有何联系？

问题 3：如果加速度是速度的导数，那么”加速度的导数”（即位置对时间的三阶导数）在物理中有什么意义？

2.3.2 导数的定义

导数描述了函数变化的瞬时速率。在运动学中，速度是位置对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。

定义： 函数 \(f(x)\) 在 \(x = a\) 处的导数

\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]

物理图像：从平均到瞬时

回到高速公路汽车的例子。平均速度 \(\displaystyle \bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}\) 描述的是一段时间内的整体行为。但当我们把时间间隔 \(\Delta t\) 越缩越小时，平均速度就变成了瞬时速度。

导数就是这种”无限缩小”过程的数学表达：\(v = \displaystyle\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}\)。

几何图像：爬坡的坡度

想象你在爬山。山的形状可以用函数 \(h(x)\) 描述，\(x\) 是水平距离，\(h\) 是高度。

• 在某一地点的坡度就是山丘在该点的陡峭程度
• 如果坡度为正，你在上坡；如果为负，你在下坡
• 坡度越大，上坡越陡

数学上，导数 \(f'(a)\) 正好就是函数图像在 \(x = a\) 处切线的斜率。导数就是”斜率”的精确数学版本。

Derivative as Slope

如上图所示，当 \(h \to 0\) 时，割线逐渐变成切线，割线的斜率 \(\frac{f(a+h) - f(a)}{h}\) 逐渐变成切线的斜率 \(f'(a)\)。

2.3.3 导数的物理意义

物理量	数学定义	物理意义
速度	\(v = \frac{dx}{dt}\)	位置对时间的变化率
加速度	\(a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}\)	速度对时间的变化率
力	\(F = \frac{dp}{dt}\)	动量对时间的变化率（牛顿第二定律）

概念贯通：注意表格中的物理量形成了一个链条：位置 \(\xrightarrow{\text{导数}}\) 速度 \(\xrightarrow{\text{导数}}\) 加速度。这是微分在物理学中的典型应用。而积分则是这个过程的逆：加速度 \(\xrightarrow{\text{积分}}\) 速度 \(\xrightarrow{\text{积分}}\) 位置。

2.3.4 导数的几何意义

导数 \(f'(a)\) 表示函数 \(f(x)\) 在 \(x = a\) 处切线的斜率。

2.3.5 常用导数公式

函数	导数	适用条件
\(x^n\)	\(nx^{n-1}\)	\(n\) 为任意实数；当 \(n < 0\) 且 \(x = 0\) 时不适用
\(\sin x\)	\(\cos x\)	\(x\) 为弧度
\(\cos x\)	\(-\sin x\)	\(x\) 为弧度
\(e^x\)	\(e^x\)	无条件成立
\(\ln x\)	\(\frac{1}{x}\)	\(x > 0\)

2.3.6 链式法则

如果 \(y = f(u)\) 且 \(u = g(x)\)，则：

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]

物理图像：复合函数的”接力”

假设你要计算汽车耗油量对行驶距离的导数。耗油量 \(C\) 取决于速度 \(v\)，速度 \(v\) 取决于时间 \(t\)：\(C = f(v)\)，\(v = g(t)\)。

要知道 \(\frac{dC}{dt}\)（耗油量随时间的变化率），我们需要先求 \(\frac{dC}{dv}\)（耗油量对速度的变化率），再乘以 \(\frac{dv}{dt}\)（速度对时间的变化率）。这就是链式法则的物理意义：变化的传递。

2.3.7 乘积法则和商法则

乘积法则： \[ \frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \]

物理图像：两个物理量相乘的导数等于”第一个不变乘第二个的导数”加上”第一个的导数乘第二个”。

商法则： \[ \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \]

适用条件：商法则要求 \(g(x) \neq 0\)。

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2.4 1.1.3 积分

2.4.1 思考问题

问题 1：如果你知道汽车每个时刻的速度，能否求出它的位置？积分和导数之间是什么关系？

问题 2：定积分为什么可以表示曲线下的面积？这个几何图像如何帮助我们理解积分的物理意义？

问题 3：积分常数 \(C\) 有什么物理意义？为什么它必须存在？

2.4.2 积分的定义

积分是导数的逆运算。在运动学中，如果我们知道速度函数，通过积分可以得到位置函数。

不定积分： \[ \int f(x) \, dx = F(x) + C \]

其中 \(F'(x) = f(x)\)，\(C\) 是积分常数。

物理图像：积分是”累积”

导数告诉我们”在某一点的瞬间，函数变化有多快”；积分则告诉我们”把所有的微小变化累积起来，总量是多少”。

举例： - 速度是位置随时间的变化率（导数） - 位置是速度对时间的累积（积分） - 功是力随位移的累积（积分） - 电量是电流随时间的累积（积分）

定积分： \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \]

定积分表示函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 下的面积。

几何图像：黎曼和

要计算曲线 \(y = f(x)\) 下方在 \([a, b]\) 区间的面积，我们可以： 1. 把区间分成许多小程序段 2. 用矩形近似每个小程序段的面积 3. 把所有矩形面积加起来

当程序段数量无限增加、每个程序段宽度无限缩小时，矩形面积之和的极限就是定积分 \(\displaystyle\int_a^b f(x) dx\)。

这就是黎曼积分的基本思想。

Riemann Sum

2.4.3 积分的物理应用

2.4.3.1 示例：自由落体

已知加速度 \(a = -g\)（恒定），求速度和位置：

第一步：积分加速度得到速度 \[ v(t) = \int a \, dt = \int (-g) \, dt = -gt + v_0 \]

其中 \(v_0\) 是初始速度。

第二步：积分速度得到位置 \[ x(t) = \int v(t) \, dt = \int (-gt + v_0) \, dt = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + x_0 \]

其中 \(x_0\) 是初始位置。

物理图像：注意积分常数的物理意义。\(v_0\) 和 \(x_0\) 分别代表初始速度和初始位置——它们是”累积”的起点。

2.4.4 常用积分公式

函数	积分	适用条件
\(x^n\)	\(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)	\(n \neq -1\)；当 \(n = -1\) 时使用 \(\ln\|x\| + C\)
\(\sin x\)	\(-\cos x + C\)	\(x\) 为弧度
\(\cos x\)	\(\sin x + C\)	\(x\) 为弧度
\(e^x\)	\(e^x + C\)	无条件成立
\(\frac{1}{x}\)	\(\ln\|x| + C\)	\(x \neq 0\)

2.4.5 积分方法

2.4.5.1 换元积分法

如果 \(u = g(x)\)，则： \[ \int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du \]

物理图像：换元积分法的本质是换一个变量看问题。有时在原变量下难以积分，但换一个变量就变得简单了。

2.4.5.2 分部积分法

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

适用场景：当被积函数是两类不同函数的乘积时（如 \(x e^x\)、\(\ln x\) 等），分部积分法往往有效。

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2.5 1.1.4 运动学应用

2.5.1 思考问题

问题 1：为什么抛体运动的轨迹是一条抛物线？能否从数学上证明？

问题 2：在不考虑空气阻力的情况下，45度角发射的炮弹能飞得最远。这个结论是如何得到的？

问题 3：相空间是什么？为什么物理学家喜欢在相空间中描述运动？

2.5.2 一维运动

2.5.2.1 匀速直线运动

\[ x(t) = x_0 + v t \]

物理条件：当加速度 \(a = 0\) 时，速度为常数，位置随时间线性变化。

2.5.2.2 匀加速直线运动

速度-时间关系： \[ v(t) = v_0 + a t \]

位置-时间关系： \[ x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \]

推导：从 \(a = \frac{dv}{dt}\) 积分得到 \(v = v_0 + at\)；再从 \(v = \frac{dx}{dt}\) 积分得到 \(x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2\)。

速度-位置关系（不含时间）： \[ v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0) \]

适用条件：该公式不显含时间，适用于需要消去时间的场合。注意：当 \(a = 0\) 时，此公式退化为 \(v = v_0\)。

2.5.3 二维运动

2.5.3.1 抛体运动

将运动分解为水平和竖直两个方向：

水平方向（匀速运动）： \[ x(t) = x_0 + v_0 \cos\theta \cdot t \]

竖直方向（匀加速运动）： \[ y(t) = y_0 + v_0 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 \]

物理图像：化繁为简

二维运动看似复杂，但通过”分解”的智慧，我们可以把它变成两个简单的一维运动： - 水平方向没有加速度（忽略空气阻力），是匀速直线运动 - 竖直方向受重力加速度 \(g\)，是匀加速直线运动

这就是物理学中重要的分解-合成思想。

轨迹方程（消去时间）： \[ y = x \tan\theta - \frac{g x^2}{2v_0^2 \cos^2\theta} \]

数学推导：从 \(x\) 表达式解出 \(t = \frac{x - x_0}{v_0 \cos\theta}\)，代入 \(y\) 表达式即可得到。这是典型的消去参数法。

最大高度： \[ H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g} \]

物理意义：当竖直方向速度 \(v_y = 0\) 时，物体达到最高点。

射程： \[ R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g} \]

物理意义：当 \(\sin 2\theta = 1\)（即 \(\theta = 45^\circ\)）时，射程最大。记住：在理想条件下，45度角是最优发射角度。

注意：这个结论假设发射点和落地点在同一水平面上，且忽略空气阻力。实际中由于空气阻力，最佳角度通常小于45度。

2.5.4 数值方法

在实际问题中，当解析解难以求得时，可以使用数值方法。

2.5.4.1 数值微分

使用 numpy.gradient 进行数值微分：

import numpy as np

t = np.linspace(0, 4.5, 500)
h = 100 - 0.5 * 9.8 * t**2  # 自由落体位置

# 数值微分计算速度
v_numerical = np.gradient(h, t)

# 解析解
v_analytical = -9.8 * t

相关代码文件： ../代码/f1_kinematics.py

物理图像：数值方法让我们可以处理那些”无法求出解析解”的实际问题。就像用许多小线段逼近曲线一样，数值方法用许多小时间步逼近连续运动。

2.5.4.2 相空间分析

相空间是描述动力学系统的有力工具。对于一维运动，相空间是以位置 \(x\) 和动量 \(p\)（或速度 \(v\)）为坐标的空间。

概念贯通：相空间在后续的振动与波章节中将成为核心工具。在量子力学中，相空间甚至被”量子化”——这将是 C 系列课程的重要内容。

自由落体的相空间轨迹：

Phase Space

物理图像：相空间中的轨迹蕴含了系统的全部信息。每一个点代表系统的一个状态，整条轨迹代表系统随时间的演化。

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2.6 1.1.5 微积分基本定理

2.6.1 思考问题

问题 1：微分和积分看起来是”相反”的操作，它们之间有什么内在联系？

问题 2：为什么微积分基本定理被誉为”数学史上最重要的定理之一”？

问题 3：你能想到微积分基本定理在物理学中的其他应用吗？

2.6.2 微积分基本定理

微积分基本定理连接了微分和积分这两个看似相反的操作：

\[ \frac{d}{dx} \left[ \int_a^x f(t) \, dt \right] = f(x) \]

定理的直观理解

让我们从几何角度理解这个定理： - \(\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt\) 表示曲线 \(y = f(t)\) 从 \(a\) 到 \(x\) 下的面积 - 当 \(x\) 稍微增加 \(dx\) 时，面积增加 \(f(x) \, dx\)（一个宽为 \(dx\)、高为 \(f(x)\) 的矩形面积） - 因此面积的瞬时变化率正好是 \(f(x)\)

这就是定理的物理图像：面积的瞬时变化率等于高度。

这一定理表明： 1. 积分是导数的逆运算 2. 定积分可以通过原函数计算

重要补充：定理要求 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续。如果函数存在间断点，需要分段处理。

2.6.3 物理中的应用

在物理学中，微积分基本定理贯穿于各个领域：

• 电磁学： 电场是电势的负梯度
• 量子力学： 概率流密度是波函数的导数
• 热力学： 热力学势的全微分

概念贯通：注意这里出现了”梯度”（gradient）的概念。梯度是导数在多维空间的推广，将在后续的电磁学进阶章节中详细讨论。

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2.7 概念贯通

2.7.1 本节在知识图谱中的位置

本节（1.1 运动学与微积分基础）是整个 F1 基础模块的数学基础。让我们看看它的承上启下作用：

• 承上：极限和连续性是高中数学到大学数学的桥梁
• 启下：
  • 1.2 牛顿力学深化：导数用于描述力、加速度、动量
  • 1.3 振动与波：简谐运动的方程需要微分方程求解
  • 后续的电磁学、热力学、甚至量子力学，都离不开微积分工具

2.7.2 知识网络

1.1 运动学与微积分基础
    │
    ├── 极限与连续性 ──────► 数学基础
    │
    ├── 导数 ──────────────► 速度、加速度、力的描述
    │                          │
    │                          └──► 1.2 牛顿第二定律 F = ma
    │
    ├── 积分 ──────────────► 位移、功、能量的计算
    │                          │
    │                          └──► 1.3 振动与波的能量
    │
    └── 微积分基本定理 ─────► 贯穿所有物理学的基石
                                  │
                                  └──► 电磁学、量子力学

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2.8 本章小结

概念	公式	物理应用
导数	\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)	速度、加速度
积分	\(\int f(x) dx = F(x) + C\)	位移、功、能量
匀加速运动	\(x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2\)	自由落体、抛体
链式法则	\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}\)	复合函数求导
微积分基本定理	\(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt = f(x)\)	微积分为逆运算

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2.9 练习题

1. 基础题： 计算 \(f(x) = x^3 - 2x + 1\) 的导数。
2. 运动学： 子弹以 \(v_0 = 500 \, \text{m/s}\) 的速度从枪口射出，求：
   • 最大射程及对应发射角度
   • 以 \(45^\circ\) 发射时的飞行时间
3. 数值计算： 编写程序用数值方法验证自由落体运动的位置-速度关系。

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2.10 参考资料

• 《物理学教程》- 力学部分
• 《数学物理方法》- 微积分复习
• Python NumPy 官方文档：https://numpy.org/doc/