5  F1 基础模块：1.4 电磁学进阶

5.1 章节概述

本章在高中电磁学的基础上，深化电磁学的基本理论，重点介绍麦克斯韦方程组。麦克斯韦方程组是经典电磁学的基石，它统一了电学、磁学和光学，预言了电磁波的存在，为现代物理学奠定了重要基础。

物理图像 麦克斯韦方程组就像物理世界的”统一场论”——它将看似不同的电现象和磁现象统一在同一个数学框架下，正如牛顿定律统一了天上和地下的力学规律。

学习目标： - 理解静电场和稳恒磁场的基本性质 - 掌握法拉第电磁感应定律 - 理解麦克斯韦方程组的物理意义 - 理解电磁波的产生和传播机制

5.2 1.4.1 电场与电势

引导问题 为什么带电粒子在电场中会运动？这种”力”与重力场中物体的运动有何相似之处？

5.2.1 库仑定律

物理类比 想象两个带电球体之间通过看不见的”弹簧”相连——同号电荷相互排斥（弹簧被压缩），异号电荷相互吸引（弹簧被拉伸）。这种”弹簧”的强度由 \(k\) 描述，\(k\) 越大，作用力越强。

两个点电荷之间的相互作用力：

\[ \vec{F} = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r} \]

其中 \(k = 8.99 \times 10^9 \, \text{N·m}^2/\text{C}^2\)，\(\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{C}^2/(\text{N·m}^2)\) 是真空介电常数。

力学联系 这与万有引力定律 \(F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}\) 形式完全相似！都是平方反比定律，体现了物理学的”统一性之美”。区别在于：引力总是吸引，而电力可以是吸引或排斥（取决于电荷符号）。

适用条件： - 点电荷（当带电体尺寸远小于距离 \(r\) 时可近似为点电荷） - 真空或均匀介质中 - 静止电荷（静电）

5.2.2 电场强度

物理类比 电场就像”重力场”——看不见但真实存在。电场强度 \(\vec{E}\) 类比于重力场强度 \(g\)（单位质量所受的重力）。正电荷就像”正质量”，是电场的”源头”；负电荷就像”负质量”，是电场的”汇”。

电场强度定义为单位正电荷所受的电场力：

\[ \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} \]

点电荷的电场： \[ \vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2} \hat{r} \]

推导 由库仑定律 \(\vec{F} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r}\)，取 \(q_1 = q\) 为试探电荷，\(q_2 = Q\) 为源电荷，则 \(\vec{E} = \vec{F}/q = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2} \hat{r}\)。

5.2.3 电势

物理类比 电势就像”高度”——重力场中有重力势能 \(U = mgh\)，电场中有电势能 \(U = qV\)。电场力做功与路径无关（保守场），正如重力做功与路径无关。

电势是描述电场的标量函数，与电场的关系：

\[ \vec{E} = -\nabla V \]

或分量形式： \[ E_x = -\frac{\partial V}{\partial x}, \quad E_y = -\frac{\partial V}{\partial y}, \quad E_z = -\frac{\partial V}{\partial z} \]

数学说明 这里的 \(\nabla\) 是梯度算符：\(\nabla = \hat{i}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{j}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{k}\frac{\partial}{\partial z}\)。梯度指向函数增大的方向，所以 \(\vec{E} = -\nabla V\) 表明电场方向指向电势降低的方向。

点电荷的电势： \[ V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r} \]

推导 从电场做功推导：\(V(r) - V(\infty) = -\int_{\infty}^{r} \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\int_{\infty}^{r} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r'^2}dr' = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}\)。取无穷远处电势为零。

5.2.4 高斯定理

引导问题 为什么通过闭合曲面的电场通量只与内部电荷有关？这与”源”和”汇”的概念有何关系？

通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面内所包围的所有电荷的代数和除以 \(\varepsilon_0\)：

\[ \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} \]

这是静电场的基本性质之一，体现了电场的”源”特性——正电荷是电场的源头，负电荷是电场的汇。

物理类比 想象一个”水龙头”（正电荷）在房间里放水（电场线），无论你用多大的盒子（闭合曲面）去接水，盒子表面流出的水量只取决于盒子内有几个水龙头——盒子外面的水龙头不影响盒子的出水量。

数学推导 以点电荷 \(Q\) 为例，取以 \(Q\) 为球心、半径为 \(r\) 的球面为高斯面： - 电场：\(E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}\)（径向） - 面元：\(d\vec{S} = \hat{r} \cdot r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi\) - 通量：\(\oint E \cdot d\vec{S} = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2} \cdot r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi = \frac{Q}{\varepsilon_0}\)

5.3 1.4.2 磁场与磁感应强度

引导问题 磁场是如何产生的？为什么运动的电荷会产生磁场，而静止的电荷不会？这与”相对运动”有何关系？

5.3.1 磁场的基本性质

物理类比 磁场线就像水流——从磁北极（N极）流出，从磁南极（S极）流入，形成闭合回路（与电场线不同，电场线从正电荷出发，终止于负电荷）。可以用铁屑在纸上显示磁场线的分布，就像水流显示河道的走向。

磁场是由运动电荷（电流）产生的。磁感应强度 \(\vec{B}\) 描述磁场的强弱和方向。

与力学联系 洛伦兹力 \(\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}\) 是电荷在磁场中运动的根本原因。这与向心力 \(\vec{F} = m\vec{v}^2/r\) 有内在联系——带电粒子在均匀磁场中做圆周运动，因为洛伦兹力提供了向心力。

5.3.2 毕奥-萨伐尔定律

数学说明 毕奥-萨伐尔定律是磁场领域的”库仑定律”，描述电流元产生磁场的基本规律。

电流元 \(Id\vec{l}\) 在空间某点产生的磁感应强度：

\[ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \hat{r}}{r^2} \]

其中 \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T·m/A}\) 是真空磁导率。

物理类比 电流元就像一段”水管”，它在周围产生的磁场类似于水流产生的漩涡——方向由右手定则确定：右手握住导线，大拇指指向电流方向，四指环绕的方向就是磁场方向。

长直导线的磁场： \[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]

推导 对毕奥-萨伐尔定律积分： - 取坐标系：导线沿 \(z\) 轴，场点在 \(xy\) 平面距导线 \(r\) 处 - \(d\vec{l} \times \hat{r}\) 的方向均为 \(\hat{\phi}\)（环绕方向），大小为 \(dl \sin\theta\) - 积分：\(B = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dl \cdot r}{(r^2+l^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\)

圆形线圈中心的磁场： \[ B = \frac{\mu_0 I}{2R} \]

适用条件 圆形线圈中心的磁场公式适用于线圈半径 \(R\) 远大于导线粗细的情况。

5.3.3 磁场的高斯定理

引导问题 为什么磁通量总为零？这意味着自然界中是否存在”磁单极子”？

通过任意闭合曲面的磁通量为零：

\[ \oint_S \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0 \]

这表明磁场是无源的——不存在磁单极子。

物理类比 磁场线就像河流——水从一处流出，必定从另一处流回。磁铁总有 N 极和 S 极，就像河流的源头和终点。科学家一直在寻找”磁单极子”（单独的 N 极或 S 极），如果存在，它将打破这个定理！

与量子力学联系 在量子力学中，狄拉克（Dirac）提出磁单极子的存在可以解释电荷的量子化。如果找到磁单极子，将是物理学的一大突破。

5.4 1.4.3 法拉第电磁感应定律

引导问题 为什么变化的磁场会产生电场？这与”能量守恒”有何关系？

5.4.1 感应电动势

当穿过闭合回路的磁通量发生变化时，回路中会产生感应电动势：

\[ \mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt} \]

其中 \(\Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A}\) 是磁通量，负号表示感应电动势总是阻碍磁通量的变化（楞次定律）。

物理类比 感应现象就像”弹性”——当你试图压缩弹簧时，弹簧会反弹阻止压缩；当你试图拉伸弹簧时，弹簧会收缩阻止拉伸。磁通量试图变化时，感应电流会产生新的磁场来”反抗”这种变化。

推导 楞次定律是能量守恒的体现：假设感应电流增强而非阻碍磁通量变化，则能量会无限增加，违反能量守恒。

5.4.2 感应电场

引导问题 变化的磁场如何在空间中激发电场？这与静电场有何本质区别？

变化的磁场会在周围空间激发感应电场（涡旋电场）：

\[ \oint_C \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d}{dt} \int_S \vec{B} \cdot d\vec{S} \]

感应电场是非保守场，不能用标量电势描述。

物理类比 静电场像山坡上的水——水从高处流向低处，有明确的方向（电势梯度方向）；感应电场像漩涡——水在那里打转，没有”高低”之分（无法定义唯一的电势）。

与力学联系 感应电场做功与路径有关，这与保守力场（如重力、静电力）形成鲜明对比。非保守力做功会改变系统的机械能。

5.4.3 洛伦兹力

运动电荷在电磁场中受到的力：

\[ \vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) \]

物理图像 洛伦兹力是电磁学的”统一力”——它包含了电力（\(q\vec{E}\)，与速度无关）和磁力（\(q\vec{v} \times \vec{B}\)，与速度成正比）。磁力永远垂直于速度方向，所以磁场力不做功，只改变运动方向。

应用 质谱仪、回旋加速器、磁约束核聚变等都依赖于洛伦兹力。

5.5 1.4.4 麦克斯韦方程组

引导问题 麦克斯韦如何将电学、磁学、光学统一在四个方程中？这四个方程分别描述了电磁场的哪些性质？

5.5.1 积分形式

麦克斯韦方程组是经典电磁学的核心，它用四个方程描述了电场和磁场的全部性质：

方程 名称 物理意义
\(\displaystyle \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}\) 高斯定理 电场是有源的（电荷产生电场）
\(\displaystyle \oint_S \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0\) 磁学高斯定理 磁场是无源的（无磁单极子）
\(\displaystyle \oint_C \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d}{dt} \int_S \vec{B} \cdot d\vec{S}\) 法拉第定律 变化的磁场产生电场
\(\displaystyle \oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \int_S \vec{J} \cdot d\vec{S} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{d}{dt} \int_S \vec{E} \cdot d\vec{S}\) 安培-麦克斯韦环路定理 变化的电场和电流产生磁场

物理图像 麦克斯韦方程组描述了电磁场的”对话”： - 方程1+2：电场和磁场是”独立”的，各有各的源 - 方程3：磁场变化时，会”告诉”电场产生变化 - 方程4：电流或电场变化时，会”告诉”磁场产生变化 - 这种”对话”就是电磁波！

5.5.2 微分形式

数学说明 微分形式更加揭示了电磁场的局域性质。积分形式描述的是整体（闭合曲面或回路），微分形式描述的是每一点的行为。

在更一般的理论中，常使用微分形式：

方程 微分形式 物理意义
高斯定理 \(\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\) 电场散度等于电荷密度除以 \(\varepsilon_0\)
磁学高斯定理 \(\nabla \cdot \vec{B} = 0\) 磁场无源（散度为零）
法拉第定律 \(\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\) 变化磁场产生旋度电场
安培-麦克斯韦定理 \(\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\) 电流和变化电场产生旋度磁场

数学推导 应用斯托克斯定理：\(\oint_C \vec{E} \cdot d\vec{l} = \int_S (\nabla \times \vec{E}) \cdot d\vec{S} = -\frac{d}{dt}\int_S \vec{B} \cdot d\vec{S} = -\int_S \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d\vec{S}\) 由于积分区域 \(S\) 任意，得 \(\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)。

5.5.3 麦克斯韦方程组的意义

与力学统一 牛顿力学描述实物粒子的运动，麦克斯韦方程组描述场的运动。两者结合形成了经典物理学的两大支柱。

  1. 统一性： 统一了电学、磁学和光学
  2. 完整性： 描述了电磁场的全部性质
  3. 预言性： 预言了电磁波的存在
  4. 协变性： 在洛伦兹变换下具有协变性（与狭义相对论兼容）

与量子力学联系 麦克斯韦方程组是经典电磁学的巅峰，但在量子尺度需要被修正。量子电动力学（QED）将电磁学与量子力学结合，描述光子与带电粒子的相互作用——这将在后续量子力学课程中详细学习。

5.6 1.4.5 电磁波

引导问题 电磁波是如何产生的？为什么”变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场”会在空间中形成波？

5.6.1 电磁波的产生

物理类比 电磁波的产生就像”传染”：一个电荷振动（加速运动）扰动周围的电场，这变化着的电场又扰动磁场，变化的磁场再扰动电场……就像多米诺骨牌效应，这种”传染”向空间传播出去。

根据麦克斯韦方程组，变化的电场产生变化的磁场，变化的磁场又产生变化的电场，这种相互激发在空间中传播就形成了电磁波。

关键洞察 麦克斯韦方程组的第三和第四个方程是电磁波存在的数学基础——它们揭示了电场和磁场可以相互”激发”，形成自洽的波动解。

5.6.2 电磁波的性质

电磁波的波动方程：

在真空中，电磁波满足：

\[ \nabla^2 \vec{E} - \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = 0 \]

\[ \nabla^2 \vec{B} - \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = 0 \]

数学推导 从麦克斯韦方程组推导（以电场为例）： - 法拉第定律：\(\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\) - 安培-麦克斯韦定理（无电流区）：\(\nabla \times \vec{B} = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\) - 对第一式取旋度：\(\nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \vec{B})\) - 代入第二式并使用 \(\nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E}\)，在无电荷区 \(\nabla \cdot \vec{E} = 0\) - 得 \(\nabla^2 \vec{E} = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}\)

传播速度： \[ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = 299,792,458 \, \text{m/s} \]

这正是光速，表明光也是一种电磁波！

历史意义 1865年，麦克斯韦从理论计算出电磁波速度恰好等于光速，预言光是一种电磁波。1887年，赫兹实验证实了电磁波的存在，开创了无线电时代。

5.6.3 平面电磁波

物理类比 平面电磁波就像”无限大的海浪”——浪面是平的，所有点同步运动。在离开发射源足够远的地方，电磁波可以近似为平面波。

最简单的电磁波是平面电磁波：

电场： \[ \vec{E} = \vec{E}_0 \cos(kx - \omega t) \]

磁场： \[ \vec{B} = \vec{B}_0 \cos(kx - \omega t) \]

重要性质： - \(\vec{E} \perp \vec{B}\)（电场与磁场垂直） - \(\vec{E} \times \vec{B}\) 沿传播方向 - \(E/B = c\)（大小之比等于光速） - \(\vec{E}\) 和 \(\vec{B}\) 同相位

推导证明 从平面波解 \(\vec{E} = \vec{E}_0 e^{i(kx-\omega t)}\) 出发： - 代入法拉第定律 \(\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\) - \(\nabla \times \vec{E} = i k \hat{x} \times \vec{E}_0 e^{ikx} = i k \vec{E}_0 \times \hat{x} e^{ikx}\) - \(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial \vec{t}} = i\omega \vec{B}_0 e^{ikx}\) - 比较得 \(k \vec{E}_0 \times \hat{x} = -\omega \vec{B}_0\) - 因此 \(\vec{B}_0 \perp \vec{E}_0\) 且 \(B_0 = \frac{k}{\omega}E_0 = \frac{E_0}{c}\)（因为 \(\omega = ck\)）

5.6.4 电磁波谱

引导问题 为什么不同波长的电磁波性质差异巨大？从无线电波到 \(\gamma\) 射线，它们是如何产生的？

电磁波按波长（或频率）可分为：

类型 波长范围 频率范围 典型应用
无线电波 \(> 1 \, \text{m}\) \(< 3 \times 10^8 \, \text{Hz}\) 广播、通信
微波 \(1 \, \text{mm} - 1 \, \text{m}\) \(3 \times 10^8 - 3 \times 10^{11} \, \text{Hz}\) 雷达、微波炉
红外线 \(0.7 \, \mu\text{m} - 1 \, \text{mm}\) \(3 \times 10^{11} - 4.3 \times 10^{14} \, \text{Hz}\) 热成像、遥控
可见光 \(400 - 700 \, \text{nm}\) \(4.3 \times 10^{14} - 7.5 \times 10^{14} \, \text{Hz}\) 视觉、光照
紫外线 \(10 - 400 \, \text{nm}\) \(7.5 \times 10^{14} - 3 \times 10^{16} \, \text{Hz}\) 消毒、荧光
X 射线 \(0.01 - 10 \, \text{nm}\) \(3 \times 10^{16} - 3 \times 10^{19} \, \text{Hz}\) 医学成像、安检
\(\gamma\) 射线 \(< 0.01 \, \text{nm}\) \(> 3 \times 10^{19} \, \text{Hz}\) 核医学、放射治疗

与量子力学联系 在量子力学中，电磁波被量子化为光子：\(E = h\nu\)（普朗克-爱因斯坦关系）。光子能量与频率成正比——\(\gamma\) 射线光子能量极高，可以电离原子（电离辐射），而无线电波光子能量极低，不会电离物质。这座起了电磁波与量子力学的桥梁！

5.7 1.4.6 电磁场的能量与动量

引导问题 电磁场是否具有能量和动量？这些能量和动量如何定义？

5.7.1 电磁能量密度

物理类比 电磁能量密度公式 \(\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0}B^2\) 类似于弹簧的弹性势能 \(\frac{1}{2}kx^2\)。电场和磁场各自储存能量，就像两个独立的”弹簧”。

电磁场的能量密度：

\[ u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2 \]

推导 考虑平行板电容器（电场能量）和螺线管（磁场能量）的储能公式： - 电容器：\(U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 \cdot Ad\)（\(A\) 为面积，\(d\) 为间距） - 螺线管：\(U = \frac{1}{2}LI^2 = \frac{1}{2\mu_0}B^2 \cdot Al\)（\(l\) 为长度） - 两式相加即得总能量密度。

5.7.2 坡印廷矢量

物理类比 坡印廷矢量 \(\vec{S}\) 描述电磁能量的”流动”——就像河流中的水流量（单位时间通过单位面积的水量）。坡印廷矢量的方向就是能量流动的方向。

坡印廷矢量描述电磁能量流的密度和方向：

\[ \vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B} \]

单位：\(\text{W/m}^2\)

5.7.3 电磁动量

引导问题 如果电磁场有动量，那么光照射到物体上会产生压力吗？

电磁场也携带动量。电磁场的动量密度：

\[ \vec{g} = \varepsilon_0 \vec{E} \times \vec{B} \]

物理应用 光的辐射压（光压）就是电磁动量的体现。1899年，列别捷夫实验测量到了光压，证实了电磁场具有动量。彗星的彗尾就是因为太阳光压的作用！

与量子力学联系 光子的动量 \(p = h/\lambda\) 与经典电磁场的动量密度相协调。光电效应（爱因斯坦解释）正是光子动量/能量与金属电子相互作用的结果。

5.8 1.4.7 电磁学的实际应用

5.8.1 电磁感应现象

物理类比 电磁感应就像”能量转换器”——将机械能转换为电能（发电机），或将电能转换为机械能（电动机）。

  • 发电机：机械能 \(\rightarrow\) 电能
  • 变压器：交流电的电压变换
  • 电磁炉：涡流加热
  • 感应加热：金属熔炼

5.8.2 电磁波应用

  • 通信（无线电、微波）
  • 雷达
  • 遥感
  • 医学成像（X 射线、MRI）

与量子力学联系 MRI（磁共振成像）技术结合了电磁学（强磁场、射频脉冲）和量子力学（核自旋的量子行为）。这是电磁学在医学领域的经典应用，也是跨学科的典范！

5.9 本章小结

5.9.1 麦克斯韦方程组（积分形式）

\[ \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad \text{（高斯定理）} \]

\[ \oint_S \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0 \quad \text{（磁场无源）} \]

\[ \oint_C \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt} \quad \text{（法拉第定律）} \]

\[ \oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I + \mu_0\varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} \quad \text{（安培-麦克斯韦）} \]

5.9.2 电磁波

  • 传播速度：\(c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • 电场与磁场垂直
  • 光是一种电磁波
  • 能量密度：\(u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0}B^2\)
  • 坡印廷矢量：\(\vec{S} = \frac{1}{\mu_0}\vec{E} \times \vec{B}\)

承前启后 本章建立的电磁场理论为后续学习量子力学打下基础。在量子力学中，电磁场被量子化为光子，电子与电磁场的相互作用由量子电动力学（QED）描述。麦克斯韦方程组在量子尺度仍然有效（作为场的经典极限），但需要用量子化场论来描述微观过程。

5.10 练习题

  1. 电场计算： 计算均匀带电细棒外某点的电场强度。
    • 提示：将细棒分割为无穷多个电荷元 \(dq = \lambda dl\)，对每个电荷元产生的电场积分
  2. 电磁感应： 证明楞次定律是能量守恒的体现。
    • 提示：考虑感应电流产生的磁场对原磁场的阻碍作用，分析能量转化过程
  3. 电磁波： 证明平面电磁波中 \(E/B = c\)。
    • 提示：使用法拉第定律 \(\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\) 和平面波形式 \(\vec{E} = \vec{E}_0 e^{i(kx-\omega t)}\)
  4. 编程练习： 使用 Python 计算圆形线圈轴线上磁场分布，绘制 \(B-x\) 曲线。
    • 代码路径：/Users/xw/Documents/claude_projects/Atom/lectures/foundations/f1_bridge/code/magnetic_field_coil.py
    • 提示：圆形线圈轴线上某点的磁场公式为 \(B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+x^2)^{3/2}}\)，其中 \(x\) 为该点到线圈中心的距离

5.11 延伸阅读

  • 《经典电动力学》- Jackson 著
  • 《物理学教程》- 电磁学部分
  • 《麦克斯韦传》- 了解电磁学统一理论的建立历程

5.12 参考资料

  • 电磁场可视化代码示例（将在后续章节提供）
  • 本章内容为后续学习量子力学中的电磁相互作用奠定基础