8  波函数与概率诠释

作者

Atom - 凝聚态物理与量子材料

发布于

2026年1月1日

9 F2 量子力学基础：1.2 波函数与概率诠释

9.1 章节概述

本节导航：本节我们将深入量子力学的核心——波函数。波函数是量子力学描述系统的基本语言，它携带了系统的全部信息。理解波函数的概率诠释，是掌握量子力学的关键一步。

如果说普朗克假设和爱因斯坦光子假说是量子革命的序曲，那么德布罗意的物质波理论和玻恩的概率诠释则是高潮。它们彻底改变了我们描述微观世界的方式：从确定性的轨道转变为概率性的波函数。

学习目标： - 理解德布罗意物质波假说 - 掌握波函数的统计诠释 - 理解双缝干涉实验的量子本质 - 理解波函数的归一化条件 - 了解波函数的相位及其物理意义

9.2 1.2.1 德布罗意物质波

9.2.1 思考问题

问题 1：如果电子具有波动性，为什么我们通常观察到电子的运动轨迹类似于粒子？波动性在什么条件下变得显著？

问题 2：一个网球和一個电子，哪个的波长更容易通过实验观测？这与它们的动量有何关系？

问题 3：既然所有物体都有波动性，为什么我们日常生活中观察不到这种波动性？

9.2.2 从光到物质

1924年，法国物理学家路易·德布罗意（Louis de Broglie）提出了一个大胆的假说：不仅是光，所有物质都具有波动性。

既然光（电磁波）可以表现出粒子性（光子），那么物质粒子（如电子）也应该表现出波动性。

9.2.3 德布罗意波长

对于动量为 \(p\) 的粒子，其对应的波长为：

\[\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}\]

其中 \(h\) 是普朗克常数，\(m\) 是粒子质量，\(v\) 是粒子速度。

这就是著名的德布罗意关系。

9.2.4 数量级估计

让我们估计一下不同物体的德布罗意波长：

物体 质量 速度 波长
电子 (1 eV) \(9.1 \times 10^{-31}\) kg \(5.9 \times 10^5\) m/s 1.2 nm
质子 (1 keV) \(1.7 \times 10^{-27}\) kg \(1.4 \times 10^5\) m/s 0.02 nm
原子 (室温) \(10^{-25}\) kg \(500\) m/s \(10^{-10}\) m
网球 \(0.06\) kg \(30\) m/s \(3.7 \times 10^{-34}\) m

关键发现：对于宏观物体，波长极其微小，无法观测；对于原子和电子，波长可与原子尺度相比，波动性变得重要！

9.2.5 实验验证：电子衍射

1927年，戴维森（Clinton Davisson）和革末（Lester Germer）通过电子衍射实验证实了电子的波动性。

当电子束照射到镍晶体表面时，产生与X射线类似的衍射图样。这直接证明了德布罗意假说的正确性。

物理图像：物质波

想象一个在球场上滚动的篮球。根据日常经验，它有确定的轨道。但如果我们能够将篮球的质量不断减小，同时让它减速到极慢的速度，它的波动性就会逐渐显现。最终，在量子尺度上，粒子的”轨道”被一片”概率云”所取代。

9.3 1.2.2 波函数的引入

9.3.1 经典与量子的对比

在经典力学中，我们用位置和动量来描述一个粒子。给定初始条件，粒子的运动轨迹是确定的。

在量子力学中，我们用波函数 \(\psi(x, t)\) 来描述粒子。波函数不是实际存在的”波”，而是一种概率振幅。

9.3.2 波函数的统计诠释

1926年，马克斯·玻恩（Max Born）提出了对波函数的统计诠释：

波函数的模平方 \(|\psi(x, t)|^2\) 表示在时刻 \(t\) 、位置 \(x\) 附近单位体积内找到粒子的概率密度。

即：

\[P(x, t) = |\psi(x, t)|^2 = \psi^*(x, t) \psi(x, t)\]

其中 \(\psi^*\) 是 \(\psi\) 的复共轭。

这意味着： - 波函数本身不是可观测的物理量 - 只有 \(|\psi|^2\)（概率密度）具有直接的物理意义 - 粒子在某一位置出现的概率由波函数决定

9.3.3 波函数的性质

  1. 归一化条件：在全空间找到粒子的概率应为1

\[\int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(x)|^2 dx = 1\]

  1. 单值性：概率必须是单值的，因此 \(\psi(x)\) 必须是单值函数

  2. 有限性：概率不能无限大，因此 \(\psi(x)\) 必须是平方可积的

  3. 连续性：波函数及其一阶导数通常是连续的（除非势能无限大）

物理图像：波函数 vs 概率

想象一个正在嗡嗡作响的鼓面。鼓面不同位置的振幅不同，但振幅本身不是你可以直接”看到”的。然而，振幅的平方与该点的”振动强度”成正比。量子力学中的波函数与此类似：\(\psi\) 是复振幅，\(|\psi|^2\) 是概率密度。我们不能直接”看到” \(\psi\)，但它决定了粒子可能出现的地点。

9.4 1.2.3 双缝干涉实验

9.4.1 实验装置

双缝干涉实验是量子力学的核心实验之一。实验装置包括： - 一个电子源 - 一个带有两条狭缝的屏障 - 一个探测屏幕

9.4.2 经典预期

如果电子是经典粒子： - 每个电子要么通过缝A，要么通过缝B - 电子在屏幕上的分布应该是两个单缝衍射图的简单叠加 - 增加电子束强度不会改变这种分布

9.4.3 实验结果

然而，实际观察到的结果完全不同：

  1. 干涉图样：即使电子一个一个地发射，经过足够长时间后，屏幕上仍然出现干涉条纹！

  2. 概率叠加：每个电子似乎”同时”经过两条缝，并与自己发生干涉

  3. 路径测量破坏干涉：如果在缝处测量电子通过了哪条缝，干涉条纹立即消失！

9.4.4 量子力学的解释

量子力学对双缝实验的解释如下：

  1. 每个电子用波函数 \(\psi\) 描述
  2. 波函数同时通过两条缝（叠加原理）
  3. 从两条缝出发的波函数相互干涉
  4. 屏上某点找到电子的概率是 \(|\psi_A + \psi_B|^2 = |\psi_A|^2 + |\psi_B|^2 + 2\text{Re}(\psi_A^*\psi_B)\)，其中交叉项产生干涉

物理图像：电子的”选择”

量子电子不会”选择”通过哪条缝——它以某种方式同时通过了两条缝！这不是修辞手法，而是量子力学的正式结论。当我们进行测量之前，电子处于”通过缝A”和”通过缝B”两个状态的叠加态。只有在测量时，电子才”决定”出现在某个位置。

9.4.5 延迟选择实验

惠勒（John Wheeler）提出的”延迟选择”实验更加惊人：在电子已经通过双缝之后（即将到达屏幕前），才决定是否测量电子路径。

结果仍然是：一旦测量路径，干涉消失；不测量路径，干涉出现。

这意味着：现在的选择可以影响过去的行为？这似乎与因果律相冲突，但量子力学可以自洽地解释这一现象（并没有真正违反因果律，因为无法利用这一效应传递信息）。

9.5 1.2.4 波函数的相位

9.5.1 复数形式的波函数

波函数是复数函数：

\[\psi(x) = |\psi(x)| e^{i\phi(x)}\]

其中： - \(|\psi(x)|\) 是振幅（决定概率密度） - \(\phi(x)\) 是相位（决定干涉行为）

9.5.2 相位的物理意义

相位本身不可观测，但相位差产生可观测的效应：

  1. 干涉：两个波函数的相对相位决定它们是相长干涉还是相消干涉

  2. 量子相位： Berry 相位、AB 效应等都源于相位

  3. 相位随时间演化：遵循薛定谔方程

9.5.3 全同粒子与交换对称性

对于多粒子系统，波函数的相位还与粒子的全同性有关：

  • 玻色子（如光子、氦-4原子）：波函数对称
  • 费米子（如电子、质子）：波函数反对称

这导致了著名的泡利不相容原理和费米-狄拉克统计。

物理图像：相位差决定结果

想象两个节拍器以相同的频率振动，但起始时间略有不同。它们的相位差决定了在某个时刻它们是同步还是相反。量子力学中的干涉与此类似：来自两条缝的电子波函数有相对相位，这个相位差决定了屏上某点是亮还是暗。

9.6 1.2.5 态叠加原理

9.6.1 量子态的叠加

量子力学的一个基本原理是态叠加原理：

如果 \(\psi_1\) 和 \(\psi_2\) 是系统的可能状态，那么它们的线性组合

\[\psi = c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2\]

也是系统的可能状态。

这里的”线性组合”包括所有复数系数的组合。

9.6.2 叠加态的物理意义

叠加态 \(\psi\) 不是”粒子在状态1或状态2”，而是”粒子同时处于状态1和状态2”——这是一种全新的存在方式。

测量时，系统”坍缩”到 \(\psi_1\) 或 \(\psi_2\) 中的某一个，概率分别为 \(|c_1|^2\) 和 \(|c_2|^2\)。

9.6.3 态叠加与经典波的类比

经典波也满足叠加原理：两列波相遇时，它们会相互叠加。但量子力学的叠加有本质不同：

经典波叠加 量子叠加
振幅直接相加 概率振幅相加
叠加后波形可观测 叠加态本身不可直接观测
测量不影响波 测量导致波函数坍缩

9.7 本章小结

  1. 德布罗意物质波：所有物质都具有波动性，波长 \(\lambda = h/p\)。

  2. 波函数的统计诠释：玻恩提出 \(|\psi|^2\) 是概率密度，这是量子力学的核心假设。

  3. 双缝干涉实验：电子同时通过两条缝与自己干涉，测量路径会破坏干涉，体现了量子叠加态的本质。

  4. 波函数的相位：相位决定了干涉行为，虽然本身不可观测，但影响可观测的物理现象。

  5. 态叠加原理：量子态可以线性叠加，测量导致叠加态坍缩到某个本征态。

9.8 思考题

  1. 计算题：计算动能为 100 eV 的电子的德布罗意波长。

  2. 概念辨析：解释为什么宏观物体的波动性不可观测，而电子的波动性可以观测？

  3. 实验分析：在双缝干涉实验中，如果两条缝的宽度不同，干涉图样会如何变化？请解释原因。

  4. 量子思考：如果一个电子处于”通过缝A”和”通过缝B”两个状态的等概率叠加态，测量它通过哪条缝后，可能得到什么结果？概率各是多少？

  5. 拓展探究：查阅资料，了解”量子擦除实验”（Quantum Eraser Experiment）的原理，并解释它如何挑战我们的日常直觉。

9.9 参考资料

  • de Broglie, L. (1924). “Recherches sur la théorie des quanta”. PhD thesis.
  • Born, M. (1926). “Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge”. Zeitschrift für Physik.
  • Feynman, R. P., Leighton, R. B., & Sands, M. (1965). “The Feynman Lectures on Physics, Vol. III”.